Hallo Kevin,
es reicht ja aus, zu zeigen, dass \(\sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(y) \cdot \cos(y)=\sin(x+y)\cdot \cos(x-y)\) ist. Allgemein gilt \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)=1\). Also kann man schreiben:
$$\sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(y) \cdot \cos(y) \\ \space= \sin(x) \cdot \cos(x) \cdot \left( \sin^2(y) + \cos^2(y) \right) + \sin(y) \cdot \cos(y) \cdot \left( \sin^2(x) + \cos^2(x) \right)$$
Ausmultiplizieren ergibt:
$$\space = \sin(x) \cdot \cos(x) \cdot \sin^2(y) + \sin(x) \cdot \cos(x) \cdot \cos^2(y) \\ \quad + \sin^2(x) \cdot \sin(y) \cdot \cos(y) + \cos^2(x) \cdot \sin(y) \cdot \cos(y) $$
Das wiederum ist ein Produkt aus
$$\space = \left(\sin(x)\cos(y) + \cos(x) \cdot \sin(y)\right) \cdot \left( \cos(x) \cdot \cos(y) + \sin(x) \cdot \sin(y) \right)$$
und nach den Additionstheoremen folgt daraus:
$$\space = \sin(x+y) \cdot \cos(x-y)$$
Falls Du fragen solltest: wie kommt man darauf? Rückwärts - beginne mit den Additionsthermen und arbeite von rechts nach links.
