Surjektivität zeigen bei unbekanntem Definitionsbereich

Question

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Sei K ein Körper und c ∈ K. Untersuchen sie die Abbildung Τ_c: K →K, Τ_c(a) = a - c auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

Die Injektivität zu zeigen, war für mich kein Problem, aber bei Surjektivität komme ich gerade nicht weiter.

Zunächst habe ich die Bedingung für Surjektivität aufgestellt:

∀b ∈ K ∃a∈ K : T_c(a)=b

Also gilt T_c^-1(b)=a =b+c

Woher weiß ich jetzt, ob b+c ein Element von K ist oder nicht? Ist die Summe von zwei Elementen eines Körpers auch immer ein Element des Körpers und wenn ja, warum?

Gruß Niklas

Answer 1

∀b ∈ K ∃a∈ K : T_c(a)=b

                  <=>  a-c = b

                <=>  a = b+c

Für je zwei Elemente aus einem Körper ist die

Summe der beiden auch ein El. des Körpers

(Abgeschlossenheit gegenüber der Addition) , also alles klar.