Zeigen Sie, dass jede Menge X ⊆ P (M) ein Supremum und Infimum in (P (M),⊆) besitzt.

Question

Ich hab die obige Aufgabe gegeben und weiß nicht wie ich sie lösen soll. Ich finde keine Definitionen die mir weiterhelfen, bzw. weiß ich nicht wirklich wie ich anfangen soll.

MfG

Comments

Ich finde keine Definitionen die mir weiterhelfen

Welche Definitionen sind es denn genau, die Du gesucht hast? Welche hast Du gefunden? Und warum hilft da keine weiter?

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Ich hab mich glaub ich ein wenig unverständlich ausgedrückt, ich habe viele Definitionen aber ich weiß nicht, welche ich gebrauchen kann und welche nicht.

t ∈ X heißt untere Schranke von Y, falls t ≤ y für alle y ∈ Y. Das Gleiche habe ich für obere Schranken.

hat T :={t ∈ X : t untere Schranke von Y} ein größtes Element t_0, so heißt infY := t₀ Infimum von Y. Ich weiß allerdings nicht wie ich hiermit das obige hiermit zeigen soll.

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Die Ordnungsrelation heisst in Deinem Fall \(\subseteq\) und nicht \(\le\). Die Sachen in Kleinbuchstaben sind jetzt Teilmengen von \(M\). Und die in Grossbuchstaben sind Mengen von Teilmengen von \(M\). Exerziere das an einem einfachen Beispiel wie \(M=\{1,2,3,4\}\) mal komplett durch.

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okay danke schonmal, ich werde das Morgen mal versuchen.

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Also ich komm selber nicht drauf, hat jemand eine Lösung für den Beweis? Danke :)

Answer 1

Definition (Supremum). Ist (H, ≤) eine Halbordnung und T⊆H, dann heißt s∈H Supremum von T, wenn t ≤ s für alle t∈T ist, und s≤h für jede obere Schranke h von T ist.

Tipp. Die Vereinigung aller x∈X ist Supremum von X, der Durchschnitt ist das Infimum.

Comments

Das ist doch im Prinzip die selbe Definition die ich oben im Kommentar geschrieben habe oder?

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Ich habe etwas präziser formuliert, was mit "ein größtes Element" gemeint ist, das könnte wichtig werden. Aber prinzipiell sind die Definitionen gleichwertig.

Beispiel. {{1}, {2}, {1,2,3}, {1,2,4,5,6}} mit Teilmengenbeziehung. Hat die Menge {{1}, {2}} ein Supremum?

Die Menge {1,2,3} ist eine obere Schranke. Es gibt auch keine andere obere Schranke, die kleiner oder gleich {1,2,3} ist. Trotzdem ist {1,2,3} kein Supremum, weil nämlich auch {1,2,4,5,6} eine ober Schranke ist, und {1,2,3} nicht kleinergleich {1,2,4,5,6} ist. Es ist nicht {1,2,3} ⊆ {1,2,4,5,6}.

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Ich verstehe wieso {1,2,3,4,5,6} eine obere Schranke ist, aber wieso ist {1,2,3} ebenfalls eine? Kann dann {2} nicht auch eine obere Schranke sein? Ich dachte eigentlich ich hab die Definition von Schranken verstanden aber anscheinend doch nicht ^^

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> Ich verstehe wieso {1,2,3,4,5,6} eine obere Schranke ist

{1,2,3,4,5,6} ist keine obere Schranke von {{1}, {2}}, weil {1,2,3,4,5,6} nicht in der betrachteten Grundmenge {{1}, {2}, {1,2,3}, {1,2,4,5,6}} enthalten ist.

> aber wieso ist {1,2,3} ebenfalls eine?

{1,2,3} ist eine obere Schranke von {{1}, {2}}, weil

1. {1,2,3} ist in der Grundmenge {{1}, {2}, {1,2,3}, {1,2,4,5,6}} enthalten
   
2. {1} ⊆ {1,2,3} und {2} ⊆ {1,2,3}

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aber gilt das alles nicht analog für {1,2,3,4,5,6}oder denke ich falsch?

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Sorry ich sehe gerade, dass ich statt {1,2,4,5,6} immer {1,2,3,4,5,6} gelesen habe.

Also ich habe {{1},{2}.{1,2,3},{1,2,4,5,6}} und {{1},{2}}. Davon ist {1,2,3} eine obere Schranke, aber auch {1,2,4,5,6}. Beide sind allerdings kein Supremum, weil sie nicht in {{1},{2}} liegen und {1,2,3} ⊆ {1,2,4,5,6} nicht gilt. Stimmt das jetzt soweit? ^^

Danke :)