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Aufgabe:

Sei \( X \) eine nichtleere Menge. Auf der Potenzmenge \( \mathcal{P}(X) \) ist durch die Mengeninklusion \( \subset \) eine Ordnungsrelation gegeben. Sei \( M \) eine nichtleere Teilmenge \( \operatorname{von} \mathcal{P}(X), \) d.h. \( M \subset \mathcal{P}(X) \) und \( M \neq \emptyset \)

(I) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

a) \( X \) ist eine obere Schranke von \( M \) in \( (\mathcal{P}(X), \subset) \)

b) \( \emptyset \) ist eine untere Schranke von \( M \) in \( (\mathcal{P}(X), \subset) \)

c) \( M \) besitzt ein Supremum in \( (\mathcal{P}(X), \subset) \)

d) \( M \) besitzt ein Infimum in \( (\mathcal{P}(X), \subset) \)


(II) Sei nun \( X=\{1,2,3\} \) und \( M=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\} \)

(e) Besitzt \( M \) ein Minimum in \( (\mathcal{P}(X), \subset) ? \) Falls ja, bestimmen Sie es.

(f) Besitzt \( M \) ein Maximum in \( (\mathcal{P}(X), \subset) ? \) Falls ja, bestimmen Sie es.


Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir einfach die Lösungen erklären würdet.

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