Beweis Verkettung von Relationen

Question

Hallo liebe Community.
Ich habe folgendes Problem. Ich habe 2 Äquivalenzrelationen über einer Menge M gegeben.
Ich soll nun folgendes Zeigen:
R₁ ° R₂ ist eine Äquivalenzrelation über M, wenn R₁ ° R₂  =  R₂ ° R₁ gilt.

Eine Relation ist ja eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. Jedoch habe ich keinen Ansatz wie ich das bei einer Verkettung zeige soll.
Kann mir jemand helfe?

Answer 1

Sei R₁ ° R₂  =  R₂ ° R₁ und  x,y,z ∈ M mit (x,y), (y,z) ∈ R₁°R₂ .

Wegen (x,x) ∈ R₁ und (x,x) ∈ R₂ ist (x,x)°(x,x)=(x,x) ∈ R₁ ° R₂ laut Definition Verkettung von Relationen. Also ist R₁ ° R₂ reflexiv.

Wegen (x,y) ∈ R₁°R₂ gibt es s∈M mit (x,s)∈R₁ und (s,y)∈ R₂ laut Definition Verkettung von Relationen. Für dieses s gilt:

• Wegen (s,y) ∈ R₂ ist (y,s) ∈ R₂ laut Symmetrie von R₂
• Wegen (x,s)∈ R₁ ist (s,x) ∈ R₁ laut Symmetrie von R₁
• Wegen Defintion Verkettung von Relationen ist also (y,s)°(s,x) = (y,x) ∈ R₂ ° R₁ .

Wegen R₁ ° R₂  =  R₂ ° R₁ ist (y,x) ∈ R₁ ° R₂. Also ist R₁ ° R₂ symmetrisch.

Transitivität bekommst du jetzt sicher alleine hin.