Sind die kleinen Dreiecke ähnlich und haben die gleichen Winkel wie das Orginaldreieck?

Question

Durch die Mittellinie entsteht in jedem Dreieck ein kleines Dreieck. Zeigen Sie, dass das kleine Dreieck und das Orginaldreieck ähnlich sind, das heißt, dass entsprechende Winkel gleich groß sind.

Answer 1

mache Dir eine Skizze:

Die Mittellinie (grün) verläuft parallel zur Seite \(AB\). Die beiden blauen Winkel bei den Punkten \(A\) und \(D\) sind demnach Stufenwinkel und damit gleich groß. Das gleiche gilt für die beiden gelben Winkel bei \(B\) und \(E\). Folglich sind im Dreieck \(DEC\) alle drei Winkel genauso groß wie im Dreieck \(ABC\).

Comments

Die Mittellinie (grün) verläuft parallel zur Seite

Genau das dürfte (mit Hilfe der Umkehrung des ersten Strahlensatzes) zu beweisen sein.

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... und wer beweist mir den Strahlensatz?

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.. ergibt sich aus der Tatsache, dass gemäß Aufgabenstellung D und E Seitenmittelpunkte sind und demzufolge CD/DA = CE/EB ist.

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das ist doch kein Strahlensatzbeweis!

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Natürlich nicht. Der Beweis ist ja auch (insbesondere für nicht-rationale Streckenverhältnisse) recht kompliziert.

Mein Kommentar sollte die Ansicht zum Ausdruck bringen, dass die behauptete Parallelität mittels eines bekannten Satzes der Schulmathematik begründet werden müsste.