Gegeben ist die Funktionenschar - Scheitelpunkt & Ortskurve berechnen

Question

einige Aufgaben dieses Teiles habe ich gelöst und einige nicht - deshalb versuche ich es mal hier 

Bestimmen Sie den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von t sowie die zugehörige Ortskurve. Skizzieren Sie die Graphen für t=1 und t=-1

f^t(x) = tx^2+t^2x

f^t(x) = x^2 + tx + t 

f^t (x) t^3 x2 + t^2x + t 

Bestimmen Sie welchen Einfluss der Parameter t bei den Funktionen aus dem Aufgabenteilen jeweils auf den Verlauf des Graphen hat.

Answer 1

Hallo mala,

lautet die 1. Funktion   f_t(x) = tx² + t^2x    oder    f_t(x) = tx² + t² · x  ?

Im zweiten Fall ist die Frage nach dem Scheitelpunkt sinnvoll: 

f_t(x)  =  tx² + t² · x                                         |  t ausklammern:

       =  t · (x² + t ·x )                                    |  quadratisch ergänzen: 

              (halber Faktor bei x zm Quadrat addieren und gleich wieder abziehen)

       =   t · [ x² + t ·x  + (t/2)² - (t/2)² ]          |   1. binomische Formel : 

       =  t · [ (x + t/2)² -  (t/2)² ]                        |    [ ... ]  ausmultiplizieren: 

f_t(x)  =   t · (x + t/2)²  - t³/4            Scheitelpunkte:  S_t ( - t/2 | - t³/4 ) 

 Ortskurve der Scheitelpunkte:

x = -t/2  →   t  =  - 2x

y =  -  t³/4  =  2x³  

Gruß Wolfgang