Exponentiell sinkende Exponentialfunktion und steigende Exponentialfunktion

Question

1. Ein Körper wird in einen Kühlraum gestellt und kühlt sich exponentiell ab, wobei für seine Temperatur T (t) nach t Minuten gilt: T(t) = 65*0.86^t(°C).

a) Welche Temperatur hat der körper am Anfang?

Da 65 der Startwert ist, müsste die Antwort doch 65 °C sein oder?

b) Auf welchen Bruchteil sinkt die Temperatur des Körpers pro Minute?

Ich habe T(t)=65*0.86^1/65*0.86^0 gerechnet und dabei 0.86 herausbekommen, ist das richtig? und  wenn ja wären es das dann 86%?

c) nach 5 Minuten? T 65*0.86^5/65*0.86^0 = 0.47, sprich 47%?

d) Um wie viel Prozent nimmt die Temperatur pro Minute ab? Um wie viel in 10 Minuten?

2. Der Bambestand eines Waldes nimmt erfahrungsgemäß um ca. 12% pro Jahr zu. Zu Beginn sind 268 Bäume im Wald. Es sei A(t) die Anzahl der Bäume nach t Jahren.

a) Ermittle eine Termdarstellung der Funktion A, die jedem Zeitpunk t die Anzahl A(t) der Bakterien zuordnet.

b)Wie viele Bäume sind nach 10 Jahren im Wald?

Bei Aufgabe 1 bin ich mir nicht sicher ob a) - c) stimmt, bei d) habe ich keinen Plan wie man vorgehen soltle, ebenso wenig bei Aufgabe 2, ich bitte um eine ausfürlcihe Erklärung für einen Anfänger

Answer 1

1. a) Ist richtig. Bei t = 0 ist die Temperatur 65°C.
    b) Ist richtig. Die Temperatur sinkt mit jeder Minute auf 86/100-tel des vorherigen
         Wertes, also auf 86%.
    c) Ist richtig.
    d) Bezogen auf die vorhergehende Temperatur: (65-65*0,86^0) / 65 = 0,14 = 14%.
         Die Temperatur sinkt also pro Minute um 14%.
 

Aufbau der Wachstumsfunktion:
A = A₀*p^t
A: Bestandsgröße
A₀: Anfangsbestand
p: Wachstumsrate
t: Zeit
 

2. a) Die Wachstumsrate beträgt p = 1,12. (Um 12% zunehmen bedeutet zum Anfangswert A₀ kommen 12% vom Anfangswert dazu. Man erhält also: A = A₀+A₀*12% = A₀(1+12%) = A₀(1+0,12) = A₀*1,12. So ergibt sich für p = 1,12.)

Wenn man nun die Entwicklung über die Jahre betrachtet passiert Folgendes:
1. Jahr: A₁ = A₀*p.  A₁ wird dann zum neuen Anfangsbestand im 2. Jahr.
2. Jahr: A₂ = A₁*p.  A₂ wird zum neuen Anfangsbestand im 3. Jahr.
3. Jahr: A₃ = A₂*p.           usw.

Nun setzt man im 2. Jahr für A₁nun A₀*p ein. A₂ = A₁*p = A₀*p*p. Das neue Ergebnis setzt man nun in Jahr 3 ein indem man A₂ durch A₀*p*p ersetzt. A₃ = A₂*p = A₀*p*p*p. Zusammenfassen mit Exponent: A₃ = A₀*p^3.   usw.
Jetzt hast Du gesehen wie das t im Exponenten Zustande kommt.

Damit kannst Du die Formel aufstellen: A = A₀*p^t und mit A₀= 268 und p = 1,12. Sie lautet:
      A(t) = 268*1,12^t


b) Jetzt nur noch t = 10 einsetzen:

A(t) = 268*1,12^t;
A(t=10) = 268*1,12^10 ≈ 832

Nach 10 Jahren ist die Zahl der Bäume auf ungefähr 832  angewachsen. (Das setzt natürlich voraus, dass keine gefällt werden und sie genug Raum zum Wachsen haben.)