Eulersche darstellung

Question

Schreibe als z = x + iy mit x, y ∈ R:

√(2e) ^{i (3π/4)}

als Hilfe steht auf meinem Übungsblatt:

Komplexe Wurzeln Löse z^n = a mit Ansatz z = re^{iϕ} und a = se^{iα}

damit kann ich irgendwie wenig anfangen

Ist jemand bereit den genauen Lösungsweg aufzuschreiben, damit ich es besser nachvollziehen kann?

Answer 1

Komplexe Wurzeln Löse zⁿ = a mit Ansatz z = re^iϕ und a = se^iα

Und bei √(2e) ^{i (3π/4})  war es vielleicht √(2*e ^{i (3π/4)})

Das ist nämlich     y = √2 * √ (e ^{i (3π/4)} )     # und bei

 √ (e ^{i (3π/4)} ) ist es ja eine Quadratwurzel, also n=2

also a=  e ^{i (3π/4)}     ( also in dem Tipp s=1 und α=^3π/4  ) 

und dann z² = a gibt     z² =   e ^{i (3π/4)}   

                also   z =   e ^{i (3π/8)}   oder  z =   e ^{i (11π/8)}

also mit zusammen

y = √2 * e ^{i (3π/8)}     oder     y = √2 * e ^{i (11π/8)}    

also für die gewünschte Form des Ergebnisses

y = √2 * ( cos(3π/8 )+ i * sin (3π/8 ) ) =  √2*(0,3827 + i* 0,9239 ) = 0,5412 + i*1,3066.

und die andere Lösung entsprechend mit 

  y = √2 * e ^{i (11π/8)}