Zeigen, dass Abbildungsmatrix linear ist

Question

wie zeigt man bei Matrizen, dass sie linear sind?

Mithilfe der Matrizen

A = $$ \begin{pmatrix}  1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ und

B = $$ \begin{pmatrix} 0  & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$

wird die Abbildung definiert:

f: Mat2x2(R) -> Mat2x2(R) mit der Abbildungsvorschrift X -> AX+XB

Man muss ja überprüfen, ob f(v1+v2) = f(v1) + (fv2) sowie f(lambda v) = lambda f(v) ist.

Aber wie wendet man das in diesem Fall an?

Gruß

Comments

Spielt es bei der zweiten Eigenschaft eine Rolle, welches v ich für f(lambda v) wähle? Oder kann ich eine beliebige der drei Matrizen A, B oder die Summe der beiden nehmen, um die Linearität zu zeigen?

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Sollte doch die Summe sein, wenn ich es mir genauer ansehe. Oder?

Answer 1

Weil die Abbildung von Mat2x2(R) nach  Mat2x2(R) geht, sind die v's

eben auch Matrizen von der Art     v1 =

  a    b
  c    d

und      v2 =

  e    f
  g    h

Dann ist   v1 + v2 die Matrix

  a+e   b+ f
  c+g   d+ h

und f( v1 + v2 ) =

A *     a+e   b+ f        +   a+e   b+ f       *  B 
          c+g   d+ h            c+g   d+ h

=   a-c+e-g         b-d+f-h              +          -b-f         a+b+e+f
         a+e               b+f                             -d-h         c+d+g+h

=   a-b-c+e-f-g             a+2b-d+e+2f-h
      a-d+e-h                  b+c+d+f+g+h

Und das musst du nun vergleichen mit    f(v1) + (fv2).

Also erst mal f(v1) =

=   a-c    b-d         +     -b       a+b
       a       b                 -d       c+d

=  a-b-c    a+b+b-d        
      a-d       b+c+d

Und  f(v2)

=  e-f-g      e+2f-h
    e-h        f+g+h

also in der Tat

f(v1+v2) = f(v1)+f(v2)