Summe der reziproken Teiler - Beweis

Question

Hallo

Ich bräuchte Hilfe beim Beweis dieser Aussage.

Sei \(\sigma(n) \) die Teilersummenfunktion mit

$$ \sigma(n) = \sum_{n|d}{d} =   \prod_{i=1}^r \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i - 1} $$

Beweisen Sie:

$$ \sum_{n|d}{\frac{1}{d}} = \frac{\sigma(n)}{n}$$

Ich habe es im Ansatz mit der vollständigen Induktion versucht, ohne Erfolg.
Tipps bzw. besser ein Lösungsweg wäre toll!