Ungleichung - Bernoulli und arithmetisches Mittel

Question

Kann jemand die Aufgaben lösen?

Comments

Lak, keine Antwort bis jetzt gegeben und vollständige Lösungen erwarten. Hast du denn keine Manieren gelernt?

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Trotzdem Danke für Lösungen brudi

Answer 1

Sei b>1 , dann gibt es ein a>0 mit b= 1+a  

Dann gilt (nach Bernoulli) für alle n ∈ ℕ  mit n>1 

        ( 1+a) ⁿ > 1 + n*a 

   Sei nun z ∈ ℝ.  Dann wäre zu zeigen  1+n*a > z 

Das gibt             n > (z-1) / a 

und nach Archimedes gibt es zu jeder reellen Zahl 

also auch zu   (z-1) / a   ein n ∈ℕ, welches größer ist.

                      q.e.d

Answer 2

HI,

zu (a)

Sei \( b = 1 + \delta  \) mit \( \delta > 0 \) also \( b^n = (1+\delta)^n \ge 1 + n \delta \). Ist \( n > \frac{z-1}{\delta} \) folgt, \( b > z \)

zu(b)

$$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k \ge \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_1 = a_1 $$ Die andere  Ungleichung geht genauso.