Additionstheoreme zum Lösen von cos(x) + cos(y) = 2·cos(x+y/2) cos((x-y)/2)

Question

cos(x) + cos(y) = 2·cos(x+y/2) cos((x-y)/2)

Wie können wir diese Aufgäbe lösen?

Answer 1

2 * COS ((X+Y)/2)  *  COS ((X-Y)/2) 

= 2 * COS (X/2+Y/2)  *  COS (X/2-Y/2) 

= 2 * ( COS (X/2) * COS(Y/2) -  SIN (X/2) * SIN(Y/2) ) *( COS (X/2) * COS(Y/2) +  SIN (X/2) * SIN(Y/2) )

3. binomi. Formel

=2 * ( COS² (X/2) * COS²(Y/2) -  SIN² (X/2) * SIN²(Y/2) )

= 2* ( COS² (X/2) * COS²(Y/2) -  (1 - COS² (X/2)) * (1 -  COS²(Y/2) ) )

= 2* ( COS² (X/2) * COS²(Y/2) -  (1 - COS² (X/2)  -  COS²(Y/2) + COS² (X/2) * COS²(Y/2)  )  )

= 2* ( COS² (X/2) * COS²(Y/2) -  1 + COS² (X/2)  +  COS²(Y/2) - COS² (X/2) * COS²(Y/2)  )  

= 2* ( -  1 + COS² (X/2)  +  COS²(Y/2)  )  

=  -  2 + 2*COS² (X/2)  +  2*COS²(Y/2)   

jetzt die Formel für den halben Winkel anwenden

             cos( x/2) = ±√ (  ( 1 -cos(a) ) / 2   )   gibt 

=  -  2 + 2*(1+COS (X)) /2  +  2*(1+COS (y)) /2 

= COS(X) + COS(Y)   q.e.d.