Überprüfe Summierbarkeit Reihe bzw. Doppelreihe

Question

Hallo allerseits :)

Es geht in dieser Aufgabe darum zu zeigen, warum folgende Reihe NICHT summierbar ist:

$$\sum _{ j,k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { j }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } }$$

Als Tipp haben wir erhalten, dass man die Doppelreihe mithilfe des Minorantenkriteriums abschätzen kann. Ich vermute dass man die Reihe irgendwie auf die harmonische Reihe zurück führen könnte. Aber der Weg dorthin ist mir unklar.

Bin für Hilfe dankbar

Comments

bisher hat noch niemand genantwortet und ich schreibe mal meinen Lösungsvorschlag hin. Vielleicht kann mir ja jemand sagen, ob ich einen Fehler gemacht habe oder, ob es so stimmen kann:

Ich habe mir erstmal die Kästchen aufgezeichnet für die ersten Einträge, bis j=k=4. Darüber bin ich zur folgenden Ungleichung gekommen:

$$\sum _{ j,k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { j }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } } \ge \sum _{ d=1 }^{ n }{ d*\frac { 1 }{ d^{ 2 }+{ 1 } } }$$

dann hab ich auf n summanden abgeschätzt. Da kein Glied negativ ist, erhalte ich:

$$\sum _{ j,k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { j }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } } \ge \sum _{ j,k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { j }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } }$$

Jetzt gehts an die Abschätzungen:

$$\sum _{ d=1 }^{ n }{ d*\frac { 1 }{ d^{ 2 }+{ 1 } } } \ge \quad \sum _{ d=1 }^{ n }{ d*\frac { 1 }{ d^{ 2 }+{ d^{ 2 } } } } =\quad \sum _{ d=1 }^{ n }{ \frac { d }{ 2d^{ 2 } } } =\sum _{ d=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ 2d } } =\quad \frac { 1 }{ 2 } \sum _{ d=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ d } }$$

Somit hätte ich das ganze auf die harmonische Reihe zurückgeführt und damit gezeigt, dass das supremum nicht kleiner als unendlich ist(?)

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Du hast vergessen, die sich aus Deiner Zeichnung ergebende Idee mitzuteilen. Was ist d?

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aufgabe1b0001.pdf (0,5 MB)

"d" ist die summe der diagonalen, also zB für (j=1 k=2) + (j=2 k=1). wird das aus dem angehängten zettel ersichtlich, was ich meine?

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Du behauptest dann also $$j+k=d+1\Longrightarrow j^2+k^2\le d^2+1.$$ Wo ist der Beweis dazu?

Einfacher geht es mit folgender Aufteilung:

11 12 13 14 ...
21 22 23 24 ...
31 32 33 34 ...
41 42 43 44 ...
.......................

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danke für deine antwort und entschuldige die verspätung. einen "beweis" habe ich tatsächlich nicht, aber vom bild her war es klar. wenn man ein bisschen arbeit reinsteckt kann man den beweis vielleicht finden! ich habe momentan noch ein paar andere baustellen, wenn ich zeit habe melde ich mich nochmal zurück :)