Überprüfe die folgende Reihe auf Konvergenz

Question

Aufgabe:

$$Untersuche \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!+2} auf Konvergenz$$

Problem/Ansatz:

Mir sind Majoranen/Minorantenkriterium, Wurzelkriterium und Quotientenkriterium bekannt.

Der Nachweis der Konvergenz ist sicher recht einfach, allerdings stehe ich etwas auf dem schlauch. Vielleicht kann mir jemand helfen :-)

$$\frac{\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)!+1}}{\frac{n^{2}}{n!+1}} = \frac{(n+1)^{2}(n!+1)}{n^{2}((n+1)!+1)} = \frac{(n+1)^{2}(n!+1)}{n^{2}(n+1)!+n^{2}}$$

Answer 1

Tipp: Schätz schon ab, bevor du wo einsetzt:

$$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n^2}{n!+2}\leq\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n^2}{n!}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n}{(n-1)!}$$

Wir schauen nun, ob sich diese neue Reihe als Majorante für die gegebene eignet, mit dem Quotientenkriterium:

$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\frac{n+1}{n!}}{\frac{n}{(n-1)!}}=\dfrac{(n+1)(n-1)!}{n\cdot n!}=\dfrac{n+1}{n^2}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}\leq\dfrac34\qquad\forall n\geq2$$

Also konvergiert diese Reihe, somit konvergiert auch die gegebene Reihe.

Anmerkung: Beträge können in diesem Fall weggelassen werden, weil jedes Folgeglied von jeder Reihe größer Null ist.

Comments

Ach, danke für die schnelle Antwort. Das ist einleuchtend.

Mir war gar nicht so bewusst, dass man natürlich Kriterien auch in Kombination anwenden kann.