Orthonormalbasis bzgl. Skalarprodukt

Question

die Aufgabenstellung lautet, dass die Orthonormalbasis bzgl. des  Skalarprodukts bestimmt werden soll. Ich wollte das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren anwenden, allerdings keine Ahnung, wie ich mit dem gegebenen Skalarprodukt dabei umgehen soll:

Es sei V der Vektorraum aller Polynome vom Grad ≤ 2 mit dem definierten Skalarprodukt ⟨f,g⟩=f(-1)g(-1)+f(0)g(0)+f(1)g(1). Bestimmen Sie die ONB bzgl. dieses Skalarprodukts.

Meine Idee ist als Basis B=(1,x,x²) zu wählen und dann einzusetzen, also $$ { v }_{ 1 }=\frac { { b }_{ 1 } }{ { \left\| { b }_{ 1 } \right\|  }_{  } } =\frac { x }{ \sqrt { x*x }  } $$

leider komme ich aber dann nicht weiter, irgendwann muss ich ja das definierte Skalarprodukt auch einsetzen oder?

Answer 1

Das Skalarprodukt tritt ja bei dir im Nenner auf, wenn du x*x berechnest,

oder wie in der Aufgabenstellung geschrieben wird    (x,x)

Das ist dann ja (-1)g(-1)+f(0)g(0)+f(1)g(1)  bzw. weil f(x)=g(x)=x ist

-1*(-1) + o*o * 1*1 = 2

Also wird bei dir aus x / √(x*x) dann =  x / √2 .

Und dann einfach das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren weiter

anwenden.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, allerdings tu ich mir mit dem Skalarprodukt irgendwie immer noch schwer. Ist es richtig, so weiter zu machen:

$$ \tilde { { v }_{ 2 } } =\quad { b }_{ 2 }-\left< { v }_{ 1 },{ b }_{ 2 } \right> *{ v }_{ 1 }\\ =1-\frac { x }{ \sqrt { 2 }  } *1*\frac { x }{ \sqrt { 2 }  } \\ =1-\frac { x² }{ 2 }  $$
und das dann normieren?

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In der 2. Zeile ist  x/√2 * 1   ein Skalarprodukt.

Also musst du hier auch wieder die Definition anwenden

mit f(x) =  x/√2   und g(x) = 1

also f(-1)g(-1)+f(0)g(0)+f(1)g(1) gibt dann 

-1/√2  * 1   +0 /√2  * 1  + 1 /√2  * 1

= 0

Also ergibt sich v2 = 1   - 0 * v1   =   1