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Fur i ∈ ℕ = {0, 1, 2, . . . } sei fi ∈ Abb(ℝ, ℝ) die Abbildung fi : ℝ → ℝ, x ↦ xi.

Für n ∈ ℕ setzen wir Vn := <f0, . . . , fn>.

Zeigen Sie, dass dim Vn = n + 1 gilt. 


Wie geh ich an die Sache ran?

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Zeigen, dass \(f_0,\ldots,f_n\) linear unabhaengig sind, waere eine gute Idee.

Angenommen Vn ist linear unabhängig, ich versteh bloß nicht wie das "+1" da hinkommt

\(V_n\) ist nicht linear unabhaengig, \(V_n\) ist der Vektorraum, um den es geht. Und die Dimension bestimmt man, indem man die Elemente einer Basis von \(V_n\) abzaehlt. Was hast Du abgezaehlt?

Huch ja sorry. Dimension von Vn natürlich.

<f0, . . . , fn> ist dann unabhängig wenn sich die Nullabbildung nur dann als Linearkombination erzeugen lässt wenn alle Koeffizienten λ0,..λn =0. 

Okay so weit so gut aber wenn  ∑λfi =0 ist dann ist dim Vn = n oder nicht? Ich hab mich noch nie mit Abbildungsräumen befasst, vielleicht übersehe ich etwas wichtiges :(

\(\langle f_0,\ldots,f_n\rangle\) ist der Spann (das Erzeugnis, die lineare Huelle, die Menge aller Linearkombinationen, ...) der Vektoren \(f_0,\ldots,f_n\). Das soll \(V_n\) sein. Bestimme erstmal eine Basis von \(V_n\). Das mit dem Zaehlen kannst Du hinterher noch richtig machen.

Das ist in der Aufgabenstellung ja gar nicht definiert. Ich hab ja keine konkreten Angaben die mir helfen könnten eine Basis von Vn zu konstruieren. Mir ist aufgefallen, dass <f0, . . . , fn> das Element mit Laufindex "0" beinhaltet, kann es daran liegen das dim Vn = n+1 gilt?

Ich hab Dir gesagt, was es mit den spitzen Klammern auf sich hat. Und da es in der Aufgabe nicht erklaert wird, ist es bekannt. Ein Erzeugendensystem von \(V_n\) ist damit gegeben.

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