Lösen Sie folgende Ungleichung in R mit Summenzeichen und Betrag unter dem Bruchstrich?

Question

Hallo :-)

Ich übe gerade für eine Klausur und hänge bei folgendem Beispiel:

Könnte mir jemand erklären wie ich den Logarithmus und die Betragsungleichung am besten "auflöse" um dann damit weiterrechnen zu können? :-)

Answer 1

Ich würde mal erst den Zähler stark vereinfachen, etwa so

Die Summe von r=0 bis 2 ist

(3/2)⁰ +(3/2)¹ + (3/2)² =  1 + 3/2 + 9/4 = 19/4

2^-2 = 1/4

und log₈(1) = 8

Also ist der Zähler  20/4 + 8 = 5+8 = 13

Dann bleibt     13 / (|6-2x|-3 )  ≥ 4

Jetzt Fallunterscheidung wegen des Betrages in x≥3 und x<3 .

1. Fall x≥3 dann ist   |6-2x| =  -6+2x also wird aus #

                  13 / (-6+2x-3 )  ≥ 4

<=>                  13 / (-9+2x )  ≥ 4      ##

Um den Nenner wegzubekommen muss man mit -9+2x

multiplizieren und das ist pos. bzw. neg. je nach dem Wert von x.

Also wieder Fallunterscheidung

1. Unterfall:  x > 4,5 dann ist der Nenner positiv und aus  ## wird

                      13  ≥ 4  * (-9+2x )

         <=>              13  ≥ -36 +8x

         <=>              49  ≥ 8x

        <=>           6,125   ≥ x    Da wir aber im Fall x>4,5 sind

        ergeben sich so die ersten Lösungen  L1 = ]4,5  ;  6,125 ] .

2. Unterfall:  x < 4,5   (x=4,5 kann nicht sein, da ist der Nenner 0)

                                 dann ist der Nenner negativ und aus  ## wird

                      13  ≤ 4  * (-9+2x )

                     und dann ..........   x ≥  6,125  was bei   x < 4,5

                    keine weiteren Lösungen ergibt.

2. Fall   entsprechend.............    Vergleiche das Erg. mit dem Graphen:

~plot~ 13/(abs(6-2*x)-3);4; [[-4|8|0|10]] ~plot~

Comments

Alles sehr schön bis auf log(1) ;) .. da bekomme ich zu jeder Basis 0 raus ;)

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erwischt, da hast du recht. Dann muss man das Ganze

noch etwas anpassen.

Answer 2

Als Erstes kannst du mal den Zähler des Bruchs ausrechnen (das ist eine reelle Zahl! ) .

Wenn du das hast, links und rechts  " MINUS 4 ".

Links die Brüche korrekt addieren.

Nun soll der Bruch grösser/gleich 0 sein.

Das ist so, wenn

1. Fall:  Zähler = 0 und Nenner  nicht 0.

2. Fall: Zähler und Nenner grösser als 0.

3. Fall: Zähler und Nenner kleiner als 0.

usw.

Tipp: Logarithmengesetze anschauen: Bsp. log_(8) (1) = 0 solltest du irgenwo finden.