Beweisen von konvexer Mengen

Question

Hallo.

Ich habe Hausaufgaben bekommen und habe keine wirkliche Ahnung, wie ich es machen muss, da wir konvexe Mengen auch noch nicht in der Vorlesung dran hatten.

1) Untersuchen Sie, ob die Vereinigung konvexer Mengen stets konvex ist.

2) Beweisen Sie: Das Innere eines Dreiecks intABC eines Dreiecks ABC ist konvex. (Hinweis: Beachten Sie, dass das Innere eines Dreiecks auch leer sein kann)

Vielen Dank schon einmal für die Antworten :)

Answer 1

Hi,

allgemein gilt:

$$M \ \text{konvex} \Leftrightarrow \forall x,y \in M \ \forall \lambda \in [0,1] : \ \lambda \cdot x + (1-\lambda) \cdot y \in M$$

D.h.: Wenn ich mir zwei beliebige Punkte einer Menge nehme, so liegt auch die Strecke, die die beiden Punkte verbindet, in dieser Menge drin.

Überleg dir nun mal, ob die Vereiningung konvexer Mengen wieder konvex ist.