Hi,
mit dem Produktansatz \( u(x,t) = f(x) g(t) \) kommt man auf folgende Gleichungen für die homogene PDGL mit \( \lambda = \text{const} \)
$$ (1) \quad g'(t) = 9 \lambda g(t) $$ also
$$ (2) \quad g(t) = c_1 e^{9 \lambda t} $$ und
$$ (3) \quad f''(x) = \lambda f(x) $$ mit der Lösung
$$ (4) \quad f(x) = c_2 e^{\sqrt{\lambda} \cdot x } + c_3 e^{-\sqrt{\lambda} \cdot x } $$
Also gilt
$$ (5) \quad u(x,t) = c_1 e^{9 \lambda t} \left( c_2 e^{\sqrt{\lambda} \cdot x } + c_3 e^{-\sqrt{\lambda} \cdot x } \right) $$
Die Bedingung \( u(0,t) = 0 \) ergibt \( c_3 = -c_2 \)
und die Bedingung \( u(\pi,t) = 0 \) ergibt
$$ (6) \quad \lambda_k = -k^2 $$
Damit ergibt sich aus (5)
$$ u_k(x,t) = \tilde c_k e^{9 \lambda_k t} \sin(kx) $$ und deshalb
$$ (7) \quad u(x,t) = \sum_{k=-\infty}^\infty u_k(x,t) = \sum_{k=1}^\infty \overline {c_k} e^{9 \lambda_k t} \sin(kx) $$
Die Bedingung \( u(x,0) = \sin(x) \) ergibt
$$ (8) \quad \overline c_1 = 1 \text{ und } \overline c_k = 0 \text{ für } k \ne 1 $$ d.h.
$$ (9) \quad u_H(x,t) = e^{-9 t} \sin(x) $$ ist die homogene Lösung der PDGL.
Für die inhomogene PDGL macht man den Ansatz
$$ (10) \quad u(x,t) = T(t) u_h(x,t) $$ mit unbekannter Funktion \( T(t) \)
Aus (10) folgt durch einsetzen in die PDGL das gelten muss
$$ (11) \quad T'(t) = e^{8t} \text{ und } T(0) = 1 $$
Die Lösung von (11) ist
$$ (12) \quad T(t) = \frac{1}{8} e^{8t} + C $$ Aus \( T(0) = 1 \) folgt \( C = 1 - \frac{1}{8} \)
Also insgesamt \( T(t) = \frac{1}{8} \left( e^{8t}-1 \right) + 1 \)
D.h. die Lösung sieht wie folgt aus
$$ (13) \quad u(x,t) = e^{-9t} \sin(x) \left( \frac{1}{8} \left( e^{8t}-1 \right) + 1 \right) $$
