bk bestimmen: Fourierreihe der Fortsetzung? pDGL lösen mit Separation

Question

Aufgabe:

Ich bearbeite eine pDGL (homogen mit Dirichlet RB)

Lösung über den Separationsansatz: u(t,x) = T(t) X(x)

Eigenwert λ_k und Eigenfunktion X_k sind gelöst.

Allg. Lösung zu T_k(t) = \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \) b_k sin(2kπ/l * t) *  a_k sin(2kπ/l * t)

Über die Randbedingung u(0,x) = x(x-l) ist nun b_k zu bestimmen.

Problem/Ansatz:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \) b_k sin (kπ/l * x) =! x(x-l)

Wie gehe ich vor um b_k zu bestimmen: Fourierreihe der Fortsetzung?

Erklärung zu den Schritten wäre super!

Vorab vielen DANK!

Comments

Ich kann zwar Deine Formeln nicht richtig verstehen. Aber ich ahne den Zusammenhang: Du willst im Zuge Deiner Berechnungen die Funktion \(x \mapsto x(x-l)\) auf dem Interfall [0,l] durch eine Sinus-Fourier-Reihe darstellen. Ja, das macht man so, dass man dieser Funktion ungerade auf [-l,l] fortsetzt und die Fourier-Reihe für die Fortsetzung bestimmt.