Vollständige Induktion mit 2 Summen (Aufgabe)

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:

$$ \sum \limits_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\sum \limits_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N} $$

(I.A.) Beweise Aussage für erstes n = 1:

1/2 = 1/2

(I.V.) Für ein n E. aus N gilt Aussage

(I.S.) Dort habe ich beide Summen (jeweils mit (n+1) statt n) gleichgesetzt.

Dann habe ich ich die Summen auf die Form mit n umgestellt, so dass sie wieder aussehen wie in der Aufgabenstellung und beide Subtrahiert, was wegen der (I.V) erlaubt ist.

Übrig bleibt dann folgendes:

\( \frac{(-1)^{2 n+2}}{2 n+1}+\frac{(-1)^{2 n+3}}{2 n+2}=\frac{1}{2 n+1}+\frac{1}{2 n+2}-\frac{1}{n+1} \)

Aufgelöst ergibt die rechte Seite = 1.

Die linke Seite ergibt =1 V =-1.

Habe ich das falsch berechnet, oder funktioniert das Verfahren so nicht, wie ich es gemacht habe?

Answer 1

Wir nehmen an das gilt:

Σ (k=1 bis 2n) ((-1)^{k + 1}/k) = Σ (k=n+1 bis 2n) 1/k)

Nun wollen wir zeigen das folgendes gilt:

Σ (k=1 bis 2(n+1)) ((-1)^{k + 1}/k) = Σ (k=(n+1)+1 bis 2(n+1)) (1/k)

Σ (k=1 bis 2n) ((-1)^{k + 1}/k) + (-1)^{(2n + 1) + 1}/(2n + 1) + (-1)^{(2n + 2) + 1}/(2n + 2) = Σ (k=n+1 bis 2n) (1/k) - (1/(n+1)) + (1/(2n + 1)) + (1/(2n + 2))

(-1)^{(2n + 1) + 1}/(2n + 1) + (-1)^{(2n + 2) + 1}/(2n + 2) = - (1/(n+1)) + (1/(2n + 1)) + (1/(2n + 2))

1/(2n + 1) - 1/(2n + 2) = -1/(n+1) + 1/(2n + 1) + 1/(2n + 2)

- 1/(2n + 2) = -1/(n + 1) + 1/(2n + 2)

- 1/(2n + 2) = -2/(2n + 2) + 1/(2n + 2)

- 1/(2n + 2) = - 1/(2n + 2)

q.e.d.

Comments

Ich hätte zwei eventuell dumme Fragen zu dieser Aufgabe.

1) Ich verstehe nicht so ganz warum Sie in Zeile 6 nach der zweiten Summe ein -(1/(n+1)) haben.

2) In Zeile neun wurde Zusammengefasst, wie wurde aus 1/(2n+1) - 1/(2n+2) => -1/(2n+2)

Ich wollte diese Aufgabe zur Übung machen und bin relativ weit gekommen. Alles erscheint mir verständlich nur bei diesen 2 Dingen stehe ich auf dem Schlauch.