Komplexe Zahlen Vielfaches von pi

Question

Hallo

Gegeben ist die komplexe Zahl 5+5i. Daraus sollten wir zuerst den Betrag ausrechnen, das wären dann 7,07 und nun soll ich den Winkel als Vielfaches von Pi angeben. Was genau kann ich denn darunter verstehen ? 

Answer 1

Einerseits muss der Winkel in Bogenmaß angegeben werden. Das heißt 2π entspricht einem Winkel von 360°, π entspricht einem Winkel von 180° etc. (das ist eine proportionale Zuordnung).

Andererseits heißt das das, was da wörtlich steht: dass du den Winkel als Vielfaches von π angeben sollt, also zum Beispiel "Der Winkel beträgt 1/4·π" anstatt "Der Winkel beträgt 0.7853981633974483".

Answer 2

Hi,mal dir mal den Punkt in einem Koordinatensystem ein. Du wirst sehen, dass der Winkel zwischen der reellen Achse (positiv) und der Strecke zwischen dem Ursprung und deinem Punkt 45 Grad ist. 360 Grad entsprechen 2 Pi. Wie viel entspricht dann 45 Grad?Wenn du den Winkel in Grad kennst, kannst du das Bogenmaß wie folgt berechnen:$$ 2 \cdot \pi \frac{\alpha} {360°}$$

Comments

Unter dem Stichpunkt "Berechnung des Winkels im Intervall [0,2π)" siehst du auch wie du den Winkel allgemein in Grad berechnest:

https://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Umrechnung_von_kartesischen_Koordinaten_in_Polarkoordinaten

(Bedenke, dass du statt π einfach 180 Grad einsetzt usw. (siehe Beispiel).)

Hiermit kannst du dann auch den Winkel einer beliebigen komplexen Zahl schnell bestimmen. Dein Beispiel war ein "einfaches", da man mit Erfahrung direkt sieht, dass der Winkel 45 Grad ist. Bei der Zahl -4i+13 gestaltet sich das nicht so einfach:

$$\alpha = \arctan (\frac{13}{-4}) + 180^{\circ}=107,1^{\circ}$$

Somit ist der Winkel im Bogenmaß

$$2 \cdot \pi \cdot \frac{107,1^{\circ}}{360^{\circ}}=0,595 \pi$$