Ableitung bestimmen Summe

Question

ich soll die (m+1) Ableitung von

f(x)  = ∑_j=0 bis k x^j *a_j mit k <= m+1 bestimmen.

Nur irgendwie bekomm ich es nicht so wirklich hin, die erste Ableitung wäre ja: f‘(x)= ∑j=0 bis k j*x^(j-1) *a²_j

Nur leider weiß ich nicht, wie ich bei der m+1 Ableitung vorgehe.

Meine Überlegung:

f^{m+1} = ∑j=0 bis k (j^m+1-...)(j-m)x ^j-m-1 a^m+1

^{Natürlich ist das noch nicht die Lösung, aber ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt}

Answer 1

> f(x)  = ∑_j=0 bis k x^j *a_j

Das ist ein Polynom vom Grad k.

> mit k <= m+1.

Das Polynom soll mindestens k mal abgeleitet werden.

Was passiert mit dem Grad eines Polynoms, wenn man es ableitet?

Comments

Der Grad wird immer um 1 erniedrigt

---

Ja, meistens.

Außer wenn der Grad bereits 0 ist. Dann wird er nicht zu -1, sondern es entsteht die Nullfunktion.

Nach k mal ableiten hast du also ein Polynom vom Grad 0. Leitest du noch ein weiteres mal ab, dann hast du die Nullfunktion.

Jetzt bauchst du nur noch die k-te Ableitung von g(x) = a_kx^k  bestimmen. Alle anderen Summanden fallen ja schon vorher weg.

---

Aber das wäre ja nur j^k-1 x^{k-1} a^k-1

---

J^{k-1} x^{k-1} a^{k-1}_j

---

Ableitung von 12x⁵ ist 12·5·x⁴.

Ableitung von 12·5·x⁴ ist 12·5·4·x³.

Ableitung von 12·5·4·x³ ist 12·5·4·3·x².

Ableitung von 12·5·4·3·x² ist 12·5·4·3·2·x.

Ableitung von 12·5·4·3·2·x ist 12·5·4·3·2·1 = 12·5!.

Davon die Ableitung ist 0.

---

Also ist die (m+1) Ableitung null?

---

Das kommt auf den genauen Wert von m+1 an.

Gefordert ist ja k ≤ m+1. Das kann man in zwei Fälle unterteilen:

k = m+1. Dann ist die Ableitung a_k · k!.

k < m+1. Dann ist die Ableitung Null.