0 Daumen
439 Aufrufe

ich benötige Hilfe bei den zusehenden Aufgaben. Ich würde mich freuen, wenn mir einer es erklären könnte 89567135-79A2-4300-92AC-0262486EB8CE.jpeg

Avatar von

Bitte: https://www.mathelounge.de/schreibregeln befolgen.

Wo genau siehst du den Zusammenhang zwischen Überschrift "Leibnitz-Formel für Ableitungen", Tags "Extremwert, Wendepunkt" und Frage? 

EDIT: Hast du die Antworten auf deine bisherigen Fragen verstanden? Warum hast du da noch keine als "beste Antwort" ausgezeichnet? Sind für dich immer noch alle offen? 

Bei der Verteilung der Tags war ich wohl zu voreilig und habe deswegen die falschen ausgewählt 

Die Antwort auf meine bisherige Frage habe ich verstanden, aber vergessen die beste Antwort auszuwählen. Nachträglich habe ich es aber erledigt 

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Am besten mit Induktion nach n.

n=1 ist einfach nur die normale Produktregel

(fg) ' = f ' * g  +  f * g '  

und die Summe von k=0 bis 1 liefert 

(1 über 0) * f (1) * g (0) +  ( 1 über 1 ) * f (0) * g(1) 

=  1 *f ' * g  +  1* f * g '   Passt also.

Wenn es fü n stimmt, dann gibt (fg)(n+1) =(fg)(n)

Du muss also die Summe von k=0 bis n über (n über k) * f(n-k)*g(k)  

nochmal ableiten. Bei einer Summe darf man das ja, indem man jeden

Summanden einzeln ableitet und die Produkte nach der Produktregel, also

gibt das : 

Summe von k=0 bis n über (n über k) * ( f(n-k+1)*g(k)  +f(n-k)*g(k+1)  )

Summe von k=0 bis n über (n über k) *  f(n-k+1)*g(k)  +(n über k) *f(n-k)*g(k+1)  

und machen daraus zwei Summen

= Summe von k=0 bis n über (n über k) *  f(n-k+1)*g(k) 

             + Summe von k=0 bis n(n über k) *f(n-k)*g(k+1)  )

Verschiebe jetzt den Summationsindex der 2. Summe :

= Summe von k=0 bis n über (n über k) *  f(n-k+1)*g(k)       

         + Summe von k=1 bis n+1   (n über k-1) *f(n-k+1)*g(k)  )

und bedenke nun, das ( n über k ) + ( n über k-1) immer ( n+1 über k) ergibt.

Also hast du drei Teile :  Den ersten Summanden für k=0 , dann die

Summe von 1 bis n  und den (n+1)-ten von der 2. Summe:

(n über 0)*f(n+1)*g +Summe von k=1 bis n   (n über k) *f(n-k+1)*g(k)  

                +  ( n+1 über 0 ) * f * g(n+1) 

Und weil (n+1 über 0) = (n über 0) und (n über n)=(n+1 über n+1) 

ist, ist das die Summe aus der Formel für n+1, also 

= Summe von k=0 bis n+1   (n über k) *f(n+1-k)*g(k) 

Avatar von 287 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

1 Antwort
1 Antwort
2 Antworten
Gefragt 13 Dez 2020 von Gast
2 Antworten

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community