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Gegeben ist eine Ellipse mit den halbachsen a und b. In diese Ellipse wird ein Rechteck mit den Seiten 2x und 2y geschrieben. 

Welches Rechteck hat in der Ellipse den größten Flächeinhalt? Bestimmen Sie dafür die Seitenlänge des Rechtecks. 

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Angenommen die Halbachse a liege auf der x-Achse,dann liegt b auf der y-Achse (a>0,b>0) und die Ellipsengleichung lautet: (x/a)2+(y/b)2=1. Aufgelöst nach y:  y=±b/a·√(a2-x2) Wir wählen (x|y) im  ersten Quadranten. Das Rechteck hat die Fläche F(x)=4xy=4bx/a·√(a2-x2). Ableitung F'(x)=4b(a2-x2)/a-4bx2((a(a2-x2)). Die Ableitung hat im 1.Quadranten die Nullstelle xN=a√2/2. Diese eingesetzt in F(x) ergibt F(a√2/2)=2ab.

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