Zeigen Sie, dass U := {f : [0,1] →R | ∀x ∈ [0,1]f(x) = ax^2 + bx + c, a,b,c ∈R} ein Unterraum von V ist

Question

Betrachten Sie den Vektorraum V der Funktionen f : [0,1] → R über dem Körper R mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation.

a) Zeigen Sie, dass U := {f : [0,1] →R | ∀x ∈ [0,1]f(x) = ax² + bx + c, a,b,c ∈R} ein Unterraum von V ist.

könntet ihr bitte mir helfen??

ich habe keine Ahnung , wie man das zeigt

Comments

"und Skalarmultiplikation."

Welche Skalarmultiplikation? 

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Sagen wohl manche Leute statt "Multiplikation mit Skalaren".

Answer 1

Du prüfst einfach nur die Vektorraumaxiome.

Also erst mal Abgeschlossenheit bgl. Addition:

Sind f und g zwei solche   Funktionen aus U:

f(x) = ax² + bx + c,

f(x) = dx² + ex + f,

dann geht auch 

f+g von [0;1} nach ℝ und es gilt nach Def. der "punktweisen" Addition 

für alle x aus [0;1]

(f+g)(x) = ( ax² + bx + c) + ( dx² + ex + f)

Da hier alles in ℝ gerechnet wird, ist das 

             = (a+d)*x² +(b+d)*x +(c+f)

und in den Klammern stehen wieder Elemente von R, also 

ist die Summe in U.

Skalarmultiplikation:

Entsprechend gilt für alle z aus R und f (wie oben ) aus U

z*f = z*(ax² + bx + c) = (za)*x² + zb*x + zc  .

Also auch in U.

Dann brauchst du nur noch 0-Funktion ist in U, klar wenn man

a=b=c=0 wählt.