Supremum von Teilmengen der reellen Zahlen

Question

Zeigen Sie folgende Aussagen, wobei A, B ⊆ R nicht-leere, beschränkte Teilmengen von R sind.
(a) Für eine obere Schranke M von A gilt
M = supA ⇐⇒ ∀" > 0 : [M − ", M] ∩ A 6= ;.
(b) sup(A∪ B) = max{supA, sup B}
(c) sup(−A) = −inf(A) (wobei −A := {−a : a ∈ A})
(d) sup |A| = max{| inf(A)|, sup(A)} (wobei |A| := {|a| : a ∈ A}).

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Suprema von Teilmengen der reellen Zahlen

Stichworte: supremum,reelle,zahlen

Hi allerseits,

kann jemand mir helfen mit den " Suprema von Teilmengen der reellen Zahlen " wäre sehr dankbar. 

Answer 1

(a) Für eine obere Schranke M von A gilt
M = supA ⇐⇒ ∀ ε > 0 : [M − ε, M] ∩ A ≠ ∅

Für "==>"  M = supA

==> M ist die kleinste obere Schranke von A.

angenommen es gäbe ein ε > 0 mit [M − ε, M] ∩ A = ∅

dann wäre z.B.  M − ε/2 auch eine obere Schranke von A;

denn  wäre etwa x∈A mit x >M − ε/2 dann wäre 

entweder x ∈  [M − ε, M] ∩ A im Widerspruch zu  [M − ε, M] ∩ A = ∅

oder  x>M im Widerspruch zu M = supA .

<==   Sei M eine obere Schranke von A 

           mit  ∀ ε > 0 : [M − ε, M] ∩ A ≠ ∅

==>   M ist die kleinste obere Schranke; denn 

         wäre m < M auch eine obere Schranke, 

dann gibt es wegen m<M ein eps mit 

                 m < M - eps < M und da 

in [M-eps ; M] mind. ein Element von x ∈A liegt,

 gilt auch m < x im Widerspruch zu

          m is obere Schranke von A.