Supremum einer Menge in (Bereich: Reelle Zahlen)

Question

Hey ihr. :3 Ich komme mit meinen Vorlesungsmitschriften gerade echt nicht weiter, es geht um Schranken, Supremum / Infimum und das ganze:

Bestimmen sie für jede der folgenden Mengen (ich nehme hier mal nur die erste, den Rest schaffe ich dann ja vielleicht selber), ob sie ein Supremum bzw. Infimum in ℝ besitzt. Falls ja, bestimmen sie es und entscheiden Sie, ob es in der jeweiligen Menge enthalten ist.

(a) M₁={(-1)ⁿ•(2+(3÷n)) | n∈ℕ}

Mein Ansatz wäre jetzt, hypothetisch anzunehmen, dass -5 Infimum und gleichzeitig Minimum und 3,5 Supremum und gleichzeitig Maximum der Menge ist. Gibt es einen mathematisch korrekteren Ansatz als das? Und was mache ich dann? Beweisen, dass es bei einer kleineren oberen Schranke bzw. größeren unteren Schranke ein Element der Menge geben würde, dass dann größer bzw. kleiner als die Schranke ist? Also 3,5 und -5? Das wirkt mir alles zu unmathematisch, ich will keinen Punktabzug. o:

Liebe Grüße, bin für jede Hilfe dankbar. :)

Answer 1

eine Vermutung aufzustellen ist ja schonmal der erste Schritt zum finden einer Lösung. Besitzt ein Menge reeller Zahlen ein Maximum bzw. Minimum so handelt es sich dabei auch immer um das Supremum bzw. Infimum der Menge.

Das heißt dir bleibt zu zeigen, dass deine vermuteten Werte tatsächlich Maximum und Minimum sind.

Du musst also zeigen, dass für alle \(n \in \mathbb{N} \) gilt:

$$ -5 \leq (-1)^n \cdot \left(2 + \frac{3}{n} \right) \leq \frac{7}{2} $$

Den Gleichheitsfall hast du bereits für \(n=1\) und \(n=2\) ja vorliegen. Für das Einhalten der Ungleichung kannst du bspw. so vorgehen:

1) Betrachte einzeln die Fälle ungerade und gerade \(n\).

oder (kürzer):

2) Zeige, dass der Betrag des mittleren Terms für \(n \geq 3\) kleiner als eine bestimmte Grenze ist ;).

Gruß

Comments

Erstmal vielen Dank!
Habe versucht, damit weiterzurechnen - dann komme ich ja so oder so dazu, zu beweisen, dass 3/n höchstens 3 für ungerade n und höchstens 1,5 für gerade n ist. Also muss ich praktisch davon wieder das Supremum finden, nach dem, was mein dampfender Kopf da gerade fabriziert. Oder nicht? Und kann man einfach hinschreiben, dass (-1)ⁿ nichts anderes als -1 oder 1 sein kann?
Das klingt jetzt mega penibel, bin gerade eben eine Erstsemesterin in Nöten; man hat mir alles zum Rechnen weggenommen, was ich so tolles konnte und jetzt traue ich mich nicht mehr, die einfachsten Dinge einfach anzunehmen. :'D
Grüße zurück.

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Haha kein Ding, wir finden uns da schon durch. Im Grunde brauchst du hier nicht wieder irgendwelche suprema etc. zu bestimmen sondern konkret mit der vorliegenden Ungleichung(skette) zu arbeiten und an dieser darfst du dich rechnerisch austoben (da ihr schon die Anordungsaxiome behandelt haben müsstet).

Du hast dich also für die Fallunterscheidung entschieden. Bezeichnen wir doch als Abkürzung die Elemente in der Menge mit \(a_n\).

Ich kann dir ja mal den geraden Fall zeigen Also sei \(n\) gerade, das bedeutet insbesondere \((-1)^n = 1 \) und \(n \geq 2\).

Somit ist \( -5 < 0 < a_n \) ja schonmal klar.

Was bleibt ist: \( a_n \leq \frac{7}{2} \). Also \( 2 + \frac{3}{n} \leq \frac{7}{2} \). Und dies umgestellt führt zu \(n \geq,  2\) was ja nach Voraussetzung stimmt. Somit liegen alle \(a_n\) mit \(n\) gerade in unserem Bereich.

Jetzt  bleibt für dich noch der ungerade Fall. (Wie gesagt das ganze kann man auch sehr viel kürzer notieren, aber das ist denke ich nicht in deinem Sinne).

Answer 2

Das ist doch ein guter Anfang. Zeige dann noch, dass immer das nächste Folgenglied

zwischen den beiden vorangegangenen liegt. Dann bist du doch fertig. Die ersten beiden

sind dann max und min also auch sup und inf.