Das Schaubild K einer ganzrationalen Funktion f 4.Grades
f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x + e
f ´ ( x ) = 4a * x^3 + 3b * x^2 + 2c * x + d
f ´´ ( x ) = 12a * x^2 + 6b * x + 2c
hat im Ursprung einen Wendepunkt
f ( 0 ) = 0 ( Ursprung )
f ´´ ( 0 ) = 0 ( Wendepunkt Krümmung = 0 )
und für x=1 eine Tangente parallel zur x-Achse.
f ´ ( 1 ) = 0 ( Steigung = 0 )
K berüht in x=2 die Parabel G von g mit
g(x)=0,5x^2+8x-14.
g ´( x ) = x + 8
Berührpunkt
f ( x ) = g ( x )
f ( 2 ) = g ( 2 ) ( gleiche Koordinaten )
f ´( x ) = g ´( x )
f ´( 2 ) = g ´( 2 ) ( gleiche Steigung )
Aussagen
f ( 0 ) = 0
f ´´ ( 0 ) = 0
f ´ ( 1 ) = 0
f ( 2 ) = g ( 2 )
f ´( 2 ) = g ´( 2 )
Einsetzen
f ( 0 ) = a * 0^4 + b * 0^3 + c * 0^2 + d * 0 + e = 0
=> e = 0
f ´´ ( 0 ) = 12a * 0^2 + 6b * 0 + 2c = 0 => c = 0
f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + d * x
f ´ ( x ) = 4a * x^3 + 3b * x^2 + d
f ´´ ( x ) = 12a * x^2 + 6b * x
Weiter einsetzen
f ´ ( 1 ) = 4a * 1^3 + 3b * 1^2 + d = 0
4a + 3b + d = 0
f ( 2 ) = g ( 2 )
a * 2^4 + b * 2^3 + d * 2 =
0.5 * 2^2 + 8*2- 14
16a + 8b + 2d = 4
f ´( 2 ) = g ´( 2 )
4a * 2^3 + 3b * 2^2 + d = 2 + 8
32a + 12b + d = 10
3 Gleichungen mit 3 Unbekannten
4a + 3b + d = 0
16a + 8b + 2d = 4
32a + 12b + d = 10
a = 1
b = -2
d = 2
Bitte alles nachrechnen.
Bei Bedarf nachfragen.
