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Die lineare Abbildung Φ: ℝ4 → ℝ4 hat bzgl. der Standardbasis Ε die Abbildungsmatrix

$$ D_{EE}(\phi)=\begin{pmatrix}-42&-20&12&4\\22&12&-6&-2\\-128&-58&37&12\\32&14&-9&-2 \end{pmatrix}. $$

Geben Sie eine Basis B des ℝ4 an, so dass die Abbildungsmatrix von Φ bzgl. B die Form

$$ D_{BB}(\phi)=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2 \end{pmatrix} $$ hat.

Grundsätzlich ist mir klar, dass Φ die Vektoren der Standardbasis E auf die Vektoren $$ \begin{pmatrix}-42\\22\\-128\\32\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-20\\12\\-58\\14\end{pmatrix},\begin{pmatrix}12\\-6\\37\\-9\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\-2\\12\\-2\end{pmatrix} $$ abbildet und dass sich die Basis B mit einer Basistransformationsmatrix zur Basis E und mit der inversen Basistransformationsmatrix auch andersherum umwandeln lässt. Wenn beide Basen gegeben wären, wüsste ich wie man diese Basistransformationsmatrix berechnet, aber leider fehlt mir der Ansatz die Basis B nur mit Hilfe der gegebene Abbildungen und der Basis E zu bestimmen. Ich würde mich sehr über ein paar nette Tipps freuen!

Liebe Grüße, Lara (:

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1 Antwort

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Berechne det ( M - x*E) = .... = x*(x-2)*(x^2-3x+2)

also gibt es drei Eigenwerte 0, 2 und 1.

Bestimme die Basen der Eigenräume und 

fasse sie zu einer Basis von R4 zusammen. Dann 

gibt es dazu die gesuchte Matrix.

Avatar von 287 k 🚀

Hallo ich mache die selbe Aufgabe und ich habe die Eigenräume für die jeweiligen Eigenwerte bestimmt.

Also für λ = 0: t*(-2,1,-6,2)^T

λ = 1: t*(0,0,-3,3)^T

λ= 2: t*(1,-1,2,0)^T , s*(1,-2,0,1)^T

Vielleicht übersehe ich was einfaches gerade aber die einzelnen Eigenvektoren sind doch schon die Basen der Eigenräume oder?

Und den Schritt zu der gesuchten Matrix verstehe ich auch noch nicht ganz.

Kannst du den Schritt nochmal genauer erläutern?

Gruß Hakai

Bestimme doch einfach die Matrix 

bzgl der Basis von R4, die  aus den 

vier lin. unabh. Eigenvektoren besteht.

Dazu musst du die Bilder der Basisvektoren 

durch diese Basisvektoren darstellen.

Das gibt genau die Matrix, die 

vorgegeben ist.

Vielen Dank für die Antwort ich habe es grad hinbekommen.

Ich habe aus den Eigenvektoren die Matrix S gemacht und dann folgendes gerechnet:

S^{-1}*A*S= D wobei A die gegebene Matrix war und D die gesuchte Matrix ist.

Ich habe die Formel beim nochmaligen durchschauen meines Skriptes gefunden.

Trotzdem vielen Dank.

Vielen Dank für die Antwort ich habe es grad hinbekommen. Ich habe aus den Eigenvektoren die Matrix S gemacht und dann folgendes gerechnet: S-1*A*S= D wobei A die gegebene Matrix war und D die gesuchte Matrix ist.  Ich habe die Formel beim nochmaligen durchschauen meines Skriptes gefunden.Trotzdem vielen Dank.

Die gesuchte Basis B würde ich dann doch gern mal sehen.

Ich kann dir die Matrix S zeigen. Ich schließe aus deinem Kommentar dass ich wahrscheinlich etwas verwechselt und falsch verstanden habe?

        -2   0    1    1

S =    1    0    -1    -2

         -6   -1    2    0

          2    3    0     1


              -11  -5   3   1

S^-1=      4     2   -1   0 

             -31  -14   9   3

              10   4   -3    -1

Ich konnte damit zumindest die Matrix ausrechnen.

"Ich schließe aus deinem Kommentar dass ich wahrscheinlich etwas verwechselt und falsch verstanden habe?"

Nein, ich wollte mit meinem Kommentar nicht sagen, dass du etwas falsch gemacht hast. Diese Aufgabe wurde hier schon vor einigen Tagen von einem anderen User gepostet und ich hatte mich damit beschäftigt, bin aber gescheitert. Darum bin ich an der Lösung interessiert. Da DEE nicht invertierbar ist, konnte ich zwar den Kern der Abbildung bestimmen, habe aber keine Basis finden können, die zu DBB  passt, es kam beim ersten, zweiten und dritten Anlauf ein Nullvektor raus, der aber kein Basisvektor sein kann. Daher habe ich die Aufgabe für mich als nicht lösbar abgehakt. Vielleicht habe ich aber auch drei Mal denselben Fehler gemacht.

Alles Klar. Ich krüpple jetzt auch schon länger darüber. Einerseits habe ich durch die Matrizen S und S^-1 die Matrix DBB finden können aber anderseits kommt mir das trotzdem nicht richtig vor. Ich versuche zu verstehen wieso ich unzufrieden bin mit meiner Lösung. Auch weil es einen riesigen Rechenaufwand benötigte um auf mein Ergebnis zu kommen was eigentlich untypisch ist für die meisten Übungsaufgaben welche wir bisher bekommen haben. 

Einfacher geht es so wie ich es schon abgedeutet habe:

Bestimme doch einfach die Matrix 

bzgl der Basis von R4, die  aus den 

vier lin. unabh. Eigenvektoren besteht.

Das wäre dann die Basis mit den Spaltenvektoren

v1, v2, v3, v4 =

(-2,1,-6,2)T , (0,0,-1,3)T, (1,-1,2,0)T , (1,-2,0,1)T

(da war noch ein Rechenfehler)

So, und jetzt davon die Bilder gibt 

D*(-2,1,-6,2)T = [0,0,0,0]^T 

und das Ergebnis mit Hilfe von v1, v2, v3, v4

darstellen gibt 0*v1+0*v2+0*v3+0*v4, 

also stehen in der ersten Spalte von DBB(Φ) 4 Nullen.

Das gleiche mit dem 2. Basisvektor

D*v2=D*(0,0,-1,3) ^T = (0,0,-1,3) ^T , also 

D*v2=  0*v1+1*v2+0*v3+0*v4 damit ist die 

2. Spalte von DBB(Φ)  gleich 

0
1
0

und entsprechend 

D*v3=(2,-2,4,0)^T =  0*v1+0*v2+2*v3+0*v4,

also 3. Spalte =

0
0
2
0.

und analog die 4. Spalte. Dann  brauchst du die 

Transformationsmatrizen gar nicht.

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