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Guten Tag,

Vorwort:

Die ersten Pyramiden stammen aus einer Zeit, die wir uns kaum vorstellen können. Die erste registrierte Pyramide ist die Djoser-Pyramide, die während der 3. Dynastie des Alten Reiches um 2560 v. Chr. gebaut wurde. Diese ist jedoch eine Stufenpyramide mit einer nichtquadratischen Fläche.

Es gibt jedoch Pyramiden, wie die Cheops-Pyramide, welche man ganz einfach anhand der Formeln für eine quadratische Pyramide berechnen kann. Das heißt aber nicht, dass die Djoser-Pyramide nicht berechnet werden kann, sondern vielmehr, dass die Angelegenheit dort schwieriger wird.

Ich werde nun anhand eines realen Beispiels (Cheops-Pyramide) den Vorgang bei der Berechnung einer Quadratischen Pyramide erläutern.

Begriffserklärungen und Aufbau:

Das ist die Cheops-Pyramide:

Kheops-Pyramid.jpg

Da wir heute sehr wissensbegierig sind, wollen wir alles über die Maße der Pyramide wissen! Doch vorab müssen wir erst einmal wissen was man überhaupt an einer solchen Pyramide ausrechnen kann. Viele Dinge lassen sich mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen, da sich zwei rechtwinklige Dreiecke bilden. Siehe hier:

4037b4895abc3d11a75da18e2a062742 (1).png

Es gibt also das Volumen(V), die Mantelfläche(M), die Oberfläche(O), die Diagonale(d), Seitenlänge(a), Seitenkante(s), die Höhe auf der Seitenlänge(ha),die Höhe(h) und den Umfang(u).

Für diejenigen, die nicht wissen was eine Mantelfläche(M) oder Oberfläche(O) ist hier eine kleine Grafik zur Veranschaulichung:

Unbenannt.png

Die Mantefläche (M) ist der grün-markierte Teil der auseinandergeklappten Pyramide, wobei die grün-markierte Oberfläche(O) und die blau-markierte Grundfläche(G) addiert werden.

Da wir nun die Formeln kennen brauchen wir noch Werte, um die Cheops-Pyramide zu berechnen. Laut Wikipedia ist die Cheops-Pyramide heutzutage 138.75m hoch und verfügt außerdem über eine Höhe von der Seite(a) von 186.02m (siehe Grafik oben).

Unsere Aufgabe ist es nun alle möglichen Werte der Cheops-Pyramide zu bestimmen.

Anwendungsbeispiel:

Für unser Anwendungsbeispiel sind uns von der Cheops-Pyramide folgende Werte bekannt:

$$ h=138.75m\quad {h}_{a}=186.02m $$ Zu Beginn möchte ich wissen wie lang die Seite (a) also das Basismaß der Cheops-Pyramide ist. Ein kurzer Blick in unsere Formelsammlung verrät uns, dass es am besten ist diese Formel zu verwenden, da wir bei dieser genügend Variablen kennen, um die zu gesuchte Seite zu bestimmen:$$ {h}_{a}=\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} $$ Nun kommt ein sehr essenzieller Teil der Körperberechnung. Es ist unglaublich wichtig zu verstehen wie man eine Formel umstellt. Man kann bei dieser Formel die Wurzel ganz einfach auflösen in dem man beide Seiten quadriert:$$ {h}_{a}^2=h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2 \quad | -h^2$$ Nun müssen wir nur das "a" alleine auf eine Seite bringen: Dies tun wir, in dem wir die Höhe mit der Subtraktion auf die andere Seite bringen:$$ {h}_{a}^2-h^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2 \quad |\left(\frac{a}{2}\right)^2 ⟹ \frac{a^2}{4}$$ So weit so gut, jedoch haben wir noch nicht das gewünschte "a" sondern (a/2)^2. Wir müssen nun also die Klammern auflösen; daraus ergibt sich:$${h}_{a}^2-h^2=\frac{a^2}{4}  \quad | \cdot 4  \quad | \sqrt{}   $$ Nun müssen wir noch die 4 auf die andere Seite bringen und die Wurzel ziehen, sodass wir "a" erhalten:$$a=\sqrt{(ha^2-h^2) \cdot 4}$$ Setzen wir dort also unsere Werte ein erhalten wir für "a":$$a=\sqrt{(186.02^2-138.75^2) \cdot 4}\approx 247.81m$$ Meist brauch man nur einmal die Formeln umstellen, um den Rest der Pyramide zu berechnen. Wir müssen jetzt nur noch die bekannten Maße in die Formeln einsetzen, um alle Werte zu kalkulieren:$$s=\sqrt{138.75^2+\frac{247.81^2}{2}}\approx 223.51m$$$$O=247.81^2+2\cdot 247.81 \cdot 186.02 \approx 153605.03m^2$$$$V=\frac{1}{3}\cdot 247.81^2 \cdot 138.75 \approx 2840203.07m^3$$$$M=2\cdot 247.81 \cdot 186.02 \approx 92195.23m^2$$$$ u=4 \cdot 274.81 \approx 1099.24m $$ Nun kann man noch bestimmen in welchem Winkel die Pyramide sich in den Himmel neigt, bei der Cheops-Pyramide geht das wie folgt:$$α=\arctan\left( \frac{{138.75}_{}}{\frac{247.81}{2}} \right)\approx48.24°$$ Den letzten Wert, den wir jetzt noch ausrechnen werden, ist die Neigung der Seitenkante:$$α=\arctan\left( \frac{{138.75}_{}}{\frac{\sqrt{247.81^2+247.81^2}}{2}} \right)\approx38.37°$$

Nun sind wir fertig und wissen die Näherungsmaße der Cheops-Pyramide und können uns zurücklehnen.


Es werden in dieser Artikelreihe noch folgende Körper aufgeführt:

Die Kugel, der Zylinder und der Kegel.


Ich hoffe, dass euch mein Artikel gefällt

Anton


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geschlossen: Mathe-Artikel
Gefragt von 6,9 k

Hallo Anton,

toll, dass du dir wieder so viel Mühe gemacht hast. Respekt! Wenn du noch den ein oder anderen Rechtschreib- oder Tippfehler korrigierst, ist dein Artikel richtig gut.

Besser als \((\dfrac a2)^2\) ist vielleicht auch \(\left(\dfrac a2\right)^2\).

@Silvia

Danke, dass du meine Arbeit honorierst. :) Den Hinweis mit den Rechtschreib- und Tippfehlern werde ich mir für den nächsten Artikel zu Herzen nehmen. (Außer jemand wäre so nett und würde den Artikel bearbeiten)

@nn

Stimmt, du hast recht! Sieht anders echt besser aus! Danke für den Hinweis, werde ich nächstes Mal optimieren. ;)

Liebe Grüße

Anton

Prima geschrieben.Fülltext.
 

@georgborn

Danke auch dir für das Lob!

Hallo Anton,

ich finde deinen Artikel sehr informativ. Besonders gefällt mit wieder dein historischer Hintergrund. 

Aber: Du solltest die Quelle des Bildes angeben. Ich weiß nicht, wie das im Internet ist, ob man dort immer die Quelle angeben muss, aber bei, zum Beispiel einer Präsentation ist das notwendig.


Smitty

Anton, ich werde mir den Artikel hinsichtlich der Fehler mal vornehmen.

Vielen Dank Silvia.

Hallo! Ich habe eine Frage zur Überschrift: Was sind "Darstellende Körper"? Mit dieser Bezeichnung kann ich nicht viel anfangen und bitte um geeignete Aufklärung!

Darstellende Körper sind:

Kugel, Kegel, Pyramide, Zylinder etc.

LG

Hm... sagt mir immer noch nichts. Wo wird dieser Begriff verwendet?

https://www.google.de/search?q=%22Darstellende+K%C3%B6rper%22

Oh, das ist komisch! Ich dachte, das sei für die Prävention der Misinterpretation von "Körpern", da es sich ja um Geometrische Körper handelt.

Hallo Anton, hier meine (grün-gefärbten) Verbesserungsvorschläge.


Antons Pyramide.docx (18 kb) 

Was die Überschrift anbetrifft: Wie wäre es mit "Darstellende Geometrie - Teil 1: Pyramide"?

Ja, das wäre dann doch passender. Wenn "darstellende Körper" falsch ist.

EDIT:

Vielen Vielen Dank für die Korrektur @Silvia!

Hättest du wirklich nicht machen müssen...

Vorschlag für die Überschrift: 

Mathe-Artikel: Quadratische Pyramiden.

oder z.B. 

Mathe-Artikel: Stereometrie - Teil (I) Quadratische Pyramiden. 

oder 

Mathe-Artikel: Dreidimensionale Körper - Teil (I) Quadratische Pyramiden.

Eine Frage stellt sich mir noch:

Wer soll das alles editieren?

Mein Text ist komplett wirr in der Editoransicht.

Am einfachsten schreibst du abscnittweise Kommentare, die sich 1:1 in deinen Artikel kopieren lassen. 

Frage aber erst mal Kai über das Kontaktformular, ob das überhaupt noch möglich ist nach den neulichen Änderungen am Editor (Formatierungen gehen ja verloren). 

Ich geh jetzt erst einmal schlafen. Morgen guck ich mir das mal an.

Gute Nachtruhe und bis bald 

Moderatoren können weiterhin Änderungen vornehmen. Es ist aber in der Tat einfacher, wenn Du die Verbesserungen hier 1:1 reinschreibst, damit man diese nur zu kopieren braucht. Die Änderungswünsche können danach dann im Kommentarverlauf entfernt werden.

Ansonsten: Schöner Artikel :)

Danke @Unknown.

Hier meine und Silvias Verbesserungsvorschläge :

Antons Pyramide.docx (19 kb)

die grün-markierten Textstellen sind die Verbesserungen.

Außerdem fände ich es sehr gut wenn der Titel in "Geometrische Körper (Pyramide) - Teil I" geändert wird.

Wäre demjenigen, der das macht, sehr dankbar!!

Achte nächstes Mal mehr auf korrekte Rechtschreibung.


Danke im Voraus

Anton

Verbesserungsvorschläge eingearbeitet, Latex korrigiert, Link eingearbeitet.

Oh mein Gott, danke!

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