Dimension und Facetten (Seitenflächen) eines Polyeders

Question

 

ich habe eine Frage zu nachfolgender Aufgabe.

Hoffe das ich die ersten 2 Teilaufgaben richtig habe aber bei der (c) weiß ich nicht wie man dies zeigen soll :(

Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen? :)

Hier die Aufgabe:

Betrachten Sie das Polyeder Q ⊆ ℝⁿ, das durch die Ungleichungen 

x_i ≤ 0 für alle i ∈ {1,...,n},  x_i - x_j ≤ 1 für alle i,j ∈ {1,...,n}, i ≠ j 

definiert ist.

(a) Skizzieren Sie Q für n=2

(b) Bestimmen Sie die Dimension von Q für alle n ≥ 2

(c) Zeigen Sie, dass Q für alle n ≥ 2 (mindestens) eine unbeschränkte Facette besitzt

zu (a):

klar, Koordinatensystem und x₁ ≤ 0 ; x₁-x₂ ≤ 1 ; x₂-x₁ ≤ 1 einzeichnen 

(man sieht das der Polyeder nach unten links unbeschränkt ist)

zu (b):

Da 0 und die Einheitsvektoren - ei , -ej  mit i,j ∈ {1,...,n } in Q liegen und davon n+1 Vektoren affin unabhängig sind,

folgt dim(Q) = n

(c) 

Für die Facette F muss gelten: dim(F) = dim(Q) - 1  also dim(F) = n - 1

Für den Fall n=2 induziert ja bspw. die Ungleichung x₁-x₂ ≤ 1 die Facette F x₁-x₂=1 welche auch unbeschränkt 

"nach unten" ist. Aber wie zeigt man dies im Allgemeinen für n ≥ 2 ???

Wäre euch sehr Dankbar für eine Antwort.

LG :)