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Aufgabe:

Sei K>0. K>0 . Wir betrachten die rekursiv definierte Folge

an+1=12(an+Kan) fu¨n0 a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{K}{a_{n}}\right) \quad \text { für } \quad n \geq 0
wobei der Startwert a0>0 a_{0}>0 beliebig sei.

a) Zeigen Sie, dass anK a_{n} \geq \sqrt{K} für alle nN n \in \mathbb{N}

b) Zeigen Sie, dass die Folge (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} monoton fallend ist.

c) Folgern Sie, dass die Folge (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in N} konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert.

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Hi,
betrachte an+12K=14(an+Kan)2K=14(anKan)2 a_{n+1}^2-K = \frac{1}{4}\left( a_n+\frac{K}{a_n} \right)^2 - K = \frac{1}{4}\left( a_n-\frac{K}{a_n} \right)^2 wie man durch ausmultiplizieren und zusammenfassen nachweisen kann. Dir rechte Seite
ist >0 > 0 und damit gilt an+1K a_{n+1} \ge \sqrt{K} also auch (1)anK (1) \quad a_n \ge \sqrt{K}
Das die Folge monoton fallend ist, ist äquivalent mit an2K a_n^2 \ge K wie man durch ausmultiplizieren nachweisen kann und was nach (1) auch gilt.
Insgesamt hat man also eine monoton fallende Folge die nach unten beschränkt ist, also ist die Folge konvergent. Damit gilt limnan+1=limnan=a \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} a_{n} = a und daraus folgt a=12(a+Ka) a = \frac{1}{2} \left( a+\frac{K}{a} \right) und das aufgelöst ergibt a=K a = \sqrt{K}

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zu c).

a_(n+1):= 0.5(a_(n) + K/a_(n))

Den möglichen Grenzwert a kann man ausrechnen, wenn man

a= 0.5(a + K/a)           nach a auflöst.

Im Grenzfall sollte sich ja nichts mehr ändern, wenn man das nächste Folgenglied berechnet.

a= 0.5(a + K/a)    

a = 0.5a + K/(2a)      | -0.5a

0.5a = K/(2a)       | *(2a)

a2 = K

a = ±√K

Nun kann es Startwerte geben, bei denen -√K und solche bei denen +√K der Grenzwert ist und vielleicht auc Startwerte, bei denen die Folge nicht konvergiert.

Daher sind die Überlegungen in a) und b) und irgendein Satz im Skript (monotone Beschränkte Folgen konvergieren, oder so) bei (c) nötig. Gib die Nummer des entsprechenden Satzes in deiner Lösung der Aufgabe gleich mit an.

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