Die ===> Dreiteilung des Winkels mittels Zirkel und Lineal- für 45 ° ist sie möglich.
Denn einen Winkel von 30 ° kannst du ja konstruieren ( Hypotenuse = 1 ; y-Katete = 1/2 am Einheitskreis )
Und Winkel Halbieren ( = Ziehen einer komplexen Quadratwurzel ! ) geht ja auch mit Zirkel und Lineal.
Wir sollten uns also überlgen, was Sinus und Kosinus von 15 ° ergibt. Und das geht über das ===> Sinusteorem ( siehe Formelsammlung )
sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) ( 1a )
sin ( 30 ) = 2 sin ( 15 ) cos ( 15 ) = 1/2 ( 1b )
Ferner wäre die Pythagorasbeziehung ganz schick
sin ² ( 15 ) + cos ² ( 15 ) = 1 ( 2 )
siehst du, dass ( 1b ) die quadratische Ergänzung von ( 2 ) darstellt?
[ cos ( 15 ) + sin ( 15 ) ] ² = 1 + 1/2 = 6/4 ( 3a )
cos ( 15 ) + sin ( 15 ) = 1/2 sqr ( 6 ) ( 3b )
( In ( 3a ) habe ich gleich den Nenner erweitert, das wir eine Quadratzahl im Nenner kriegen; du erinnerst dich. Im Nenner darf nie eine Wurzel stehen. )
Analog liefert die 2. binomische
cos ( 15 ) - sin ( 15 ) = 1/2 sqr ( 2 ) ( 4 )
( 3b;4 ) bilden ein LGS zur Bestimmung der beiden Unbekannten Sinus und Kosinus:
cos ( 15 ) = aritm. Mittelwert = 1/4 [ sqr ( 6 ) + sqr ( 2 ) ] ( 5a )
sin ( 15 ) = halbe -differenz = 1/4 [ sqr ( 6 ) - sqr ( 2 ) ] ( 5b )
Dein Lehrer wird staunen ...
