"e" als Grenzwert von (1+1/n)^n

Question

Ich habe ein kleines Verständnisproblem.

Ich weiß, dass: \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \)

Nun habe ich dazu ein paar Übungsaufgaben mit Lösungen.

Das Problem ist: Ich verstehe einige Lösungswege nicht. :/

z.B.:

1) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{n+2}\right)^{\frac{n+2}{2}} \)

Wieso ist das gleich e ?

Meine Vermutung: Den ersten Bruch durch 2 teilen. Dann steht im Nenner das gleiche wie im Exponent. Denn ich habe gehört, dass man es nur schaffen muss, dass an diesen Stellen das gleiche steht - schon ist es "e". Stimmt das?

2) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{2 n} \)

Hier weiß ich nicht, wie man auf \( e^2 \) kommen soll?

3) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{6}{2 n+2}\right)^{2 n+2+2} \) Hier kommt man auf \( e^6 \). Hier könnte ich mir vorstellen, dass man eine 2 im Exponenten abspaltet. Sodass man quasi die Klammer hoch 2n+2 mal die Klammer hoch 2 hat. Dann steht wieder das gleiche im Nenner und im Exponenten. Ist der Zähler dann immer automatisch der Exponent von e?

Wenn das so ist, dann könnte man ja in Aufgabe 2 den Bruch mal zwei nehmen. Dann hat man aber im Nenner 2n+2 zu stehen und im Exponenten nur 2n. Was dann?

Answer 1

ändere die Variable in eine Form, in der du sie brauchst.

1.

2/(2+n) = 1/x           n gegen unendlich bedeutet hier automatisch x gegen unendlich.

Daher hast du (1+1/x) ^x  und weisst, dass im Grenzwert e rauskommt.

2.

1/(1+n) = 1/x

x = n+1

x-1 = n

2n = 2x -1

Daher hat man  (1 + 1/x) ^ 2x-1 = (1+1/x)^ 2x / (1+1/x)
= ((1+1/x) ^x ) ^2  / (1+1/x)

Jetzt Grenzwert     →e^2 / 1 = e^2

3.

Versuche 3. mal nach meiner Methode. Das mit dem Abspalten habe ich oben bei 2. auch gemacht.

6/(2n+2) = 1/x

6x = 2n +2

Also (1+1/x) ^{6x + 2} =( (1 + 1/x)^x) ^6 * (1+1/x) ^2

Grenzwert → e^6 * 1^2 = e^6.