Formulieren Sie Sätze in Prädikatenlogik

Question

bin gerade dabei Sätze in Prädikatenlogik zu formulieren, bin mir jedoch nicht sicher, ob diese richtig sind.

1. ∃z[z ∈ ℕ: ∀x,y[x,y ∈ ℕ: x+y=z]]

2. ¬∃x[x ∈ ℕ: x<0]

3.  ∀x[x ∈ ℕ: x+0 = x]

4. Weiß ich nicht wie das aussehen soll...

LG

Answer 1

1. ∀x ∀y ∃z S(x,y,z)
2. ¬∃x L(x, 0)
   
3. ∀x S(x, 0, x)
4. ∃x ∀y P(x, y, y)
   

Answer 2

  Genauer:

     (V)  (  x  ;  y  )  (E)  z  =  z  (  x  ;  y  )  :  z  =  x  +  y     (  1  )

   Will ich euch wieder mal ärgern; mein verehrter Prof " Lohar " hätte gesagt, selbst die seriösesten Texte scheinen zu unterstellen, eine Funktion sei nur für eine Variable x definiert.

     (E)  x0  |  (V)  x  :  x  >  =  x0      (  2  )

   (E)  x0  |  (V)  x  :  x  +  x0  =  x      (  4  )

   Bitte mach dir den Unterschied klar zwischen  ( 1 ) und ( 3 ) ; in ( 3 ) hängt x0 nicht von x ab ; die Reihenfolge der Quantoren scheint vertauscht.  In ( 4 ) genau so

   (E)  x  |  (V)  y  :  x  y  =  y

Comments

Das verstehe ich nicht ganz, was soll das heißen?

(1) und (3) Quantoren vertauscht, also:

∀x ∀y ∃z S(x,y,z)

∀x S(x, 0, x)

muss so aussehen:

∃z ∀x ∀y S(x,y,z)

∀x S(x, 0, x) hier kann ich nichts vertauschen da nur ein Quantor?

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  Du hast mich durchaus mistverstanden. Von mir aus nimm eine Aussage mit 4 711 Allquantoren; ich schreib das jetzt absichtlich umständlich mit zwei Allquantoren, damit du merkst, dass das gar nicht der Punkt ist.  die richtige Aussage

    (V)  x  (V)  y  [   (E)  z  =  z  (  x  ;  y  )   |   S  (  x  ;  y  ;  z  )    ]            (  1  )

    Der allgemeinste Sinn von ( 1 ) ;  wenn die Allquantoren vorne stehen und der Existenzquantor hinten. Was du quasi beachten musst: den Unterschied zwischen freien und gebundenen Variablen.  Die eckige Klammer in ( 1 ) habe ich nämlich als Hervorhebung geschrieben;   wenn du genau links neben der eckigen Klammer stehst, ist z von diesem Standpunkt aus gesehen eine gebundene Variable. Das untrügliche Kennzeichen:  Wenn du überall unter dem Existenzquantor u schreiben würdest statt z ,  bliebe der Sinn der Aussage erhalten.  D.h. aber doch: Gebundene Variable sind NICHT die Namen von Objekten.

    Stell dir vor, die Allquantoren stehen für das Hauptprogramm und der Existenzquantor für eine Unterroutine; dieses ( Function ) Unterprogramm " S " würde in Abhängigkeit der ( freien ! )    Übergabeparameter x und y den gefundenen Wert z zurück geben - Rückgabewerte sind immer gebunden.  Daher meine ich: Wenn du ( 1 ) ordentlich notierst, darf da nie lapidar stehen " (E) z "  , sondern stets korrekt " (E) z = z ( x ; y ) "

   " z ist selbst eine implizite Funktion von x und y. "

    Und jetzt vertausche ich die Quantoren

   (E)  z  (V)  x  (V)  y  [  S  (  x  ;  y  ;  z  )  ]             (  2  )

   In ( 1 ) wurde also behauptet. Zu jedem  x und y findest du ein geeignetes z .

   Dagegen in ( 2 ) wird ausgesagt, dass es ein z gibt, das unabhängig von der Wahl von x und y diese S-Formel befriedigt.  Unter der eckigen Klammer ist z auf einmal eine FREIE Variable. Würdest du nämlich jetzt hergehen und in S schreiben u statt z , würde dein Computer mindestens maulen

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