Steigkeit von Abbildungen mit der diskreten Metrik

Question

ich habe eine Frage zur Stetigkeit von Abbildungen in der diskreten Metrik.

Auf folgende Arten habe ich versucht die Stetigkeit zu zeigen:

i) Beweis durch Urbilder offener Mengen

ii) Beweis durch Epsilon-Delta Kriterium

iii) Beweis durch Folgenkriterium für Stetigkeit


Die erste Möglichkeit habe ich hinbekommen.


Bei der zweiten Variante habe ich Probleme damit, wie ich das genau erkläre.

Gegeben habe ich die Definition der Stetigkeit, welche wie folgt lautet:

Zu jedem Epsilon größer Null existiert ein Delta größer Null mit d2(f(y),f(x)) kleiner Epsilon mit d1(y,x) kleiner Delta.

Was ich bis jetzt herausgefunden habe, ist dass ich das Delta als 1 wählen muss.

Was ich erhalte sind die beiden Fälle:

Delta = 1 und x=y, dann ist d2(f(y),f(x)) =0, also kleiner Epsilon

Delta = 1 und x ungleich y, dann ist d2(f(y),f(x)= 1

Stimmt dies soweit? In wie weit muss ich hier noch weiter vorgehen?


Die dritte Variante mit dem Folgenkriterium versteh ich leider überhaupt nicht.

Nach Def. gilt für die Stetigkeit nach dem Folgenkriterium ja:

Für jede Folge (xn)n mit (xn)n -> x gilt f(xn) -> f(x)

Wie würde der Beweis für die Stetigkeit denn hiermit aussehen?


Über Tipps wäre ich froh und bedanke mich im Vorfeld!

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Vom Duplikat:

Titel: Stetigkeit von Abbildngen mit der diskreten Metrik

Stichworte: stetigkeit,diskrete,metrik

ich habe eine Frage zur Stetigkeit von Abbildungen in der diskreten Metrik.

Auf folgende Arten habe ich versucht die Stetigkeit zu zeigen:

i) Beweis durch Urbilder offener Mengen

ii) Beweis durch Epsilon-Delta Kriterium

iii) Beweis durch Folgenkriterium für Stetigkeit

Die erste Möglichkeit habe ich hinbekommen.

Bei der zweiten Variante habe ich Probleme damit, wie ich das genau erkläre.

Gegeben habe ich die Definition der Stetigkeit, welche wie folgt lautet:

Zu jedem Epsilon größer Null existiert ein Delta größer Null mit d2(f(y),f(x)) kleiner Epsilon mit d1(y,x) kleiner Delta.

Was ich bis jetzt herausgefunden habe, ist dass ich das Delta als 1 wählen muss.

Was ich erhalte sind die beiden Fälle:

Delta = 1 und x=y, dann ist d2(f(y),f(x)) =0, also kleiner Epsilon

Delta = 1 und x ungleich y, dann ist d2(f(y),f(x)= 1

Stimmt dies soweit? In wie weit muss ich hier noch weiter vorgehen?

Die dritte Variante mit dem Folgenkriterium versteh ich leider überhaupt nicht.

Nach Def. gilt für die Stetigkeit nach dem Folgenkriterium ja:

Für jede Folge (xn)n mit (xn)n -> x gilt f(xn) -> f(x)

Wie würde der Beweis für die Stetigkeit denn hiermit aussehen?

Über Tipps wäre ich froh und bedanke mich im Vorfeld!

Answer 1

Du hast geschrieben:

Zu jedem Epsilon größer Null existiert ein Delta größer Null mit d2(f(y),f(x)) kleiner Epsilon mit d1(y,x) kleiner Delta.

Was ich bis jetzt herausgefunden habe, ist dass ich das Delta als 1 wählen muss.

Was ich erhalte sind die beiden Fälle:

Delta = 1 und x=y, dann ist d2(f(y),f(x)) =0, also kleiner Epsilon

Delta = 1 und x ungleich y, dann ist d2(f(y),f(x)= 1

Stimmt dies soweit?   Ich meine: Nein !   Ich habe dich so verstanden:

Du musst doch so beginnen: Es ist f eine Abbildung von A nach B und in beiden Mengen wird

die diskrete Metrik betrachtet.  Dann muss man doch wohl so beginnen:

Sei x ∈ A.  Zu zeigen:   f ist stetig in x.

Sei also ε > 0 .  Dann kann ja ε < 1 gelten, also bleibt nur die Möglichkeit

d2(f(y),f(x)) = 0   damit  d2(f(y),f(x)) < ε  gilt. Also muss gelten f(y)=f(x).

Du musst also δ so wählen, dass auf jeden Fall  f(y)=f(x) für alle y mit

d1(y,x) < δ gilt. Mit δ=1 (oder auch 0,5) kommst du in der Tat hin; denn

aus d1(y,x) < 1 folgt  d1(y,x) = 0  (Da ja nur 0 oder 1 als Ergebnis vorkommt.)

und damit y=x. Und nach Def. einer Abbildung gilt für y=x auch

immer f(y)=f(x) also d2(f(y),f(x)) = 0 < ε .

Mit der 3. Methode :  "Folgenkonvergenz" geht es ähnlich; denn in der

Grenzwertdefinition steht ja auch sowas wie d(a_n,a_m) < ε für hinreichend große

n und m. Bei der diskreten Metrik heißt das nur: Die Folge ist von einer gewissen

Stelle an konstant, dann natürlich auch die Folge der Funktionswerte.