Man bestimme alle Tripel positiver, ganzer Zahlen, die das Gleichungssystem erfüllen

Question

 ich komme bei dieser und zwei weiteren Aufgaben nicht weiter. Jemand eventuell Ansätze oder gar eine Lösung? Ich weiß leider so gar nicht wie ich anfange.

Man bestimme für alle Tripel (x, y, z) positiver ganzer Zahlen, die das Gleichungssystem

(1) −10 (z − 2xy) + (y − 5)/x = 52,
(2) x-y+z = 53,
(3) x(y+7)=54

erfüllen, das Produkt xyz.

Answer 1

Wenn du mit (3) beginnst, gibt es offenbar nur 4 Mögl. für x und y

(3) x(y+7)=54

6*9 = 54       x=6, y=2

3*18 = 54      x=3, y =11

2*27 = 54          x=2, y =20

1*54 = 54          x=1, y =47

Nun mit (2) und (1) noch die eine oder andere Mögl. ausschliessen und z bestimmen.

Dann die maximal 4 Produkte xyz berechnen.

Das kannst du bestimmt selbst.

Answer 2

Nun, da x, y und z positive ganze Zahlen sein sollen, sind Teilbarkeiten von großem Interesse. Betrachtet man zum Beispiel die dritte Gleichung, dann erkennt man durch Umformung, dass der Quotient

54 / ( y + 7 ) = x

sein muss, dass also 54 / ( y + 7 ) eine positive ganze Zahl sein muss.

y + 7 muss also positiv und ein Teiler von 54 sein. Nun, sooo viele positive Teiler von 54 gibt es ja nicht, es sind:

1, 2, 3, 6, 9, 18 , 27 , 54

Da y selbst auch positiv, also mindestens gleich 1 sein muss, muss y + 7 also mindestens gleich 8 sein. Somit fallen schon einmal die Teiler 1, 2, 3 und 6 weg. Übrig bleiben die Teiler 9, 18, 27 und 54.

Für den Teiler 9 gilt: y = 9 - 7 = 2 und x = 54 / 9 = 6

Für den Teiler 18 gilt: y = 18 - 7 = 11 und x = 54 / 18 = 3

Für den Teiler 27  gilt: y = 27 - 7 = 20 und x = 54 / 27 = 2

Für den Teiler 54 gilt: y = 54 - 7 = 47 und x = 54 / 54 = 1

 

In der ersten Gleichung tritt nun der Term ( y - 5 ) / x auf. Auch dieser muss eine positive ganze Zahl ergeben. Setzt man die bisher ermittelten Wertkombinationen für x und y ein, so erhält man:

x = 6, y = 2 => ( y - 5 ) / x = - 3 / 6 = - 0,5 (weder positiv noch ganzzahlig, die Kombination entfällt)

x = 3 , y = 11 => ( y - 5 ) / x = 6 / 3 = 2 (positiv und ganzzahlig, also Kandidat für eine Lösung)

x = 2, y = 20 => ( y - 5 ) / x = 15 / 2 = 7,5 (positiv, aber nicht ganzzahlig, die Kombination entfällt)

x = 1, y = 47 => ( y - 5 ) / x = 42 / 1 = 42 (positiv und ganzzahlig, also Kandidat für eine Lösung)

 

Es verbleiben also nur noch 2 Wertkombinationen von x und y als mögliche Kandidaten für eine Lösung:

x = 3, y = 11

x = 1, y = 47

 

Nun berechnet man anhand der zweiten Gleichung

 x - y + z = 53

<=> z = 53 - x + y

die entsprechenden Werte für z:

z = 53 - 3 + 11 = 61

z = 53 - 1 + 47 = 99

und setzt die so ermittelten Wertkombinationen

x = 3, y = 11, z = 61

x = 1, y = 47, z =99

in die erst Gleichung ein. Dabei stellt man fest, dass diese nur für die erste dieser beiden Kombinationen eine wahre Aussage ergibt.

Das einzige Tripel ( x, y, z ) mit positiven ganzen Zahlen ist also ( 3, 11, 61 ) und das Produkt dieser drei Zahlen ist: