Lösen von log₂(4³ √4) (Probleme mit Logarithmus)

Question

Normalerweise sucht man den Logarithmus ja so: Basis hoch was ist Hochzahl und das ist dann das Ergebnis.

z.B. log_{2} 64 = (zwei hoch was ist 64) das wäre dann zwei, also log2 64=2.

Alles kein Problem und leicht verständlich soweit.

Nun kann man das aber irgendwie anderes machen mit umschreiben. Ich sollte es aber können und weiß auch nicht, ob das folgende Beispiel stimmt:

Das Beispiel log2(4³√4)=

log2(2^2*³√2²)

log2(2^2*2^2/3)

log2^2+2/3

log2= 6+2/3=8/3

WIe geht denn das jetzt ? vor allem wie man in der zweiten Zeile einfach zwei schreiben darf statt 4? Ich habe gehört dass man gleiche Zahlen haben muss wegen dem Potezgesetz, aber da wird man nicht einfach eine 2 aus der 4 machen können? Und was soll denn da zum Schluss stehen, log2(43√4)=8/3?

Ich bitte um eine ausführliche Erklärung, wo jeder einzelene Zwischenschritt erklärt wird, damit ich es begreife, denn ich versetehe gar nichts, ich hoffe ihr könnt verstehen was ich überhaupt will, kann ja sein dass ich einen totalen Blödsinn frage.

Zudem habe ich hier noch weiter Übungen die ich genau so lösen soll, die zweite habe ich schon mal probiert.

Log8^4=

log2(8√32)=  log2(2^3*32^1/2)= 2⁶⁺¹ *32= 64^7

log5(25*³√5)=

log5(√125*5)=

log3(9*√27)=

log3(³√9*⁴√9)=

Answer 1

"z.B. log₂64=(zwei hoch was ist 64) das wäre dann zwei, also log₂64=2"

ist nicht korrekt. Korrekt wäre: log₂64 = 6, denn 2^6 = 64

Die Lösung zu deinem ersten Beispiel: log₂(2²*³√2²)

Hier musst du zuerst die Potenzgesetze anwenden und entsprechend umformen. Im ersten Schritt wandeln wir ³√2² um zu 2^{2/3}. Danach addieren wir die Exponenten 2 + 2/3.

(2² * ³√2²) = (2² * 2^3/2) = 2^2+2/3 = 2^(6/3)+(2/3) =2^8/3

Dann hast du also:

log₂(2² * ³√2²) = log₂(2^8/3)

Wir fragen bei log₂(2^8/3), 2 hoch was ist 2^{8/3}. Und die Antwort ist: 8/3.

2^x = 2^{8/3}

x = 8/3

Schau dir bitte nach der Lektion Potenzen den Artikel zum Logarithmus an, um ihn besser zu verstehen:

Sowie das Lösen von Exponentialgleichungen.

PS: Man kann auch oben weiterrechnen bei: log₂(2^8/3) = (8/3) * log₂(2) = (8/3) * 1 = 8/3. Hier haben wir die 8/3 vor den Logarithmus "gezogen". Das erlaubt uns das entsprechende Logarithmusgesetz: log_a(x^y) = y*log_a(x)

Bitte beachte auch, dass die Zahl nach dem log (die sogenannte Basis) stets tiefgestellt wird: log_ax