Analysis Rationale Zahl. Zeige: Bsp. a) Ist r > 0,so gilt :a < b⇔ a^r < b^r

Question

Zeigen Sie, dass für a,b ∈ (0,∞), r,s ∈ Q, r < s gilt:

a) Ist r > 0,so gilt :a < b⇔ a^r < b^r
b) a >1⇒ a^r <a^s
c) 0 < a <1⇒ a^s <a^r

Answer 1

  Es ist  letzten Endes immer die Frage, was du willst.  1975 im Telekolleg wurde die Logaritmusfunktion eingeführt als " Aufleitung "  der Normalhyperbel:

     ln  :  |R+  ===>  |R         (  1a  )

                            x

     ln  (  x  )  :=    $      1 / t   dt        ;  x  >  0      (  1b  )

                           1

    Ich glaub das war seiner Zeit Prof. Neunzert.  Er entwickelte ein richtig schönes Stück Analysis, indem er aus Def. ( 1b )  das logaritmische Rechengesetz ableitete:

     ln  (  x  y  )  =  ln  (  x  )  +  ln  (  y  )      (  2  )

   Doch zunächst ein Wort in eigener Sache; nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen  " Hochpunkt " statt Maximum - ich kann es auch.  Eine Funktion ist nicht  "  injektiv  "  , sondern treu.

   Und zwar geht es uns darum, die Umkehrfunktion von Logaritmus einzuführen, die wir als e-Funktion bezeichnen wollen.   Aus  Def. ( 1b ) folgt  unmittelbar,  dass die Ableitung von Logaritmus überall positiv ist - der Logaritmus wächst streng monoton und ist darum treu.

   Das Nämliche lässt sich über die e-Funktion sagen; denn es lässt sich zeigen, dass sie der DGL  y ' = y genügt.  Und ihre Funktionswerte liegen ja sämtlich in |R + .

   Das Hauptproblem liegt ganz woanders;  um umkehrbar zu sein, müsste der Logaritmus erst mal surjektiv sein. D.h.  wir müssen uns überzeugen, dass die beiden uneigentlichen Integrale

     ( °° )                          0

       $            so wie       $       nicht konvergieren.    (  3  )

       1                             1

   So weit also erst mal das Programm einer ganzen Vorlesung. Doch gegen Ende griff er die Frage auf; was ist das überhaupt, eine Potenz    x  ^   y  ?  Auch hier wird ex catedra verkündet

   x  ^  y  :=  exp  [  y  ln  (  x  )  ]   ;  x  >  0  ;  y  €  |R    (  4  )

   Du musst dir allererst klar machen, dass das alles definiert ist.  Nein;  wie die Hochschulmatematik  seit Je mit großem Erfolg voraus setzt, was Normalos bewiesen haben wollen und beweist,  was Unbedarfte unbesehen glauben.  So sagt Neunzert an dieser Stelle:  Rechtfertigen lässt sich der Potenzbegriff ( 4 ) nur auf dem Wege der vollständigen Induktion; es ist zu zeigen

      x  ^   0  =  1    (  5a  )

      so wie die Rekursion

         x  ^ (  n  +  1  )  =  x  *  x  ^   n     (  5b  )

   ( Der Potenzbegriff ( 4 )  interpoliert   ganzzahlige Potenzen. )

   ( Oder anders ausgedrückt: Für y = n € |N  geht der Potenzbegriff ( 4 ) in den uns vertrauten über. )

   Wenn ich deine Bedingung mit a ^  r und b ^ r also anschreibe, dann lautet sie

   a  <  b  <===>  exp  [  r  ln  (  a  )  ]  <  exp  [  r  ln  (  b  )  ]   (  6  )

   (  6  )  muss aber richtig sdein.  Denn wir haben gesehen, beide, Logaritmus wie e-Funktion, sind streng monoton wachsend.

   Es gibt übrigens auch  Telekolleg zum Erlangen des Abiturs.  Ich selbst habe ja die Altsteinzeit noch erlebt, als wir die Logaritmen in die Obelisken gravieren mussten - sog. Logaritmenstelen;  das babylongaritmische Wachstäfelchen war noch nicht erfunden ...

   Ja und da versucht man eben,  etwas zun rechtfertigen, was einfach nicht zu rechtfertigen ist.  Man versucht zuerst, rationale Exponenten zu definieren und hernach reelle als deren Grenzwerte.  Ich glaube die Definition über die Aufleitung ( 1ab )  hat euch allen gezeigt, dass das der richtige Weg ist.

   Manchmal tragen wir ja die seltsamsten Erinnerungen mit uns herum. Als ich selber  noxh Anfänger im ersten Semester Mechanik war, da fand ich mich in einer seltsamen Übungsgruppe wieder. Mir gegenüber saß eine attraktive Mathestudentin;  und mir blieb nicht verborgen, dass sich der Assistent und dieses Mädchen -  ist es nicht typisch, dass ich beider Namen vergessen habe?   Noch heute sehe ich sie vor mir. Dass die sich also die Bälle zuspielten.

    Sie  fragte mich also gezielt aus nach meinen Auffassungen zu allen möglichen Bereichen von Matematik und Philosophie. Dann kam sie von Hölzken auf Stöxken und verwickelte mich in politische Debatten ...

   Es war die unruhige 68-er Zeit,  wo du dich sowieso nur profilieren konntest, indem du möglichst  laut erst mal rumgebrüllt hast.  Aber in mir tauchten erste Zweifel auf; für Wen machen die beiden das eigentlich?

   Ich weiß nicht, ob du den Doppelgänger von Dostevsky kennst; sein  letzter Satz lautet

   " Wussten Sie schon, dass der Bey von Tunis einen Pickel auf der Nase hat? "

   So ähnlich kam ich mir bei dieser Studentin auch vor; eines Tages sprach sie mich kurz vor Schluss an mitten in die allgemeine Aufbruchstimmung hinein

   " Ist dir schon mal ein Matematiker begegnet, der EINEN UNTERSCHIED MACHT,  OB DU DIE E-FJNKTION DEFINIERST FÜR RATIONALE ODER IRRATIONALE ARGUMENTE? "

   Fast spontan hörte ich mich halb unterbewusst " Nein " sagen -  so als habe sie mich angeklagt, und ich benötige ein Alibi.

   Gleich einem vorpubertären, noch nicht aufgeklärten Knäblein.  Der Banknachbar fragt

    "  Kennst du Diaphragma? "

   Und der Pimpf, der  nicht mal weiß, wie man das schreibt, antwortet spontan Ja, weil er spürt,  andernfalls ist er für alle Zeiten unten durch ...

    Aber dieser Satz ging mir im Kopfe herum wie das berühmte Mühlrad von Goethes Faust.    Aktion  ===>  Freddy  Quinn

   " Es kommt der Tag. "

    Und es kam der Tag, da erfuhr ich, dass es sogar eine Matrizen e-Funktion gibt;  die wird dann über ihre Taylorreihe definiert.

   Und du wirst es nicht für Möglich halten.  Jedesmal, wenn ich an die Matrix-e-Funktion denke, fällt mir wieder dieses Mädchen ein.

   " Ob das wohl geht?  Die Matrix-e-Fjnktion so verrückt zu einzuführen,  dass sie nur für Matrizen aus   |Q  n  X  n  definiert ist?  "

Comments

Denn wir haben gesehen, beide ... sind streng monoton wachsend.

Gute Idee. Die soll wahrscheinlich eher auf \(\sqrt[n]{a^m}<\sqrt[n]{b^m}\) angewendet werden.

Ich weiß nicht, ob du den Doppelgänger von Dostevsky kennst; sein  letzter Satz lautet

  " Wussten Sie schon, dass der Bey von Tunis einen Pickel auf der Nase hat? "

Das ist jetzt aber der letzte Satz aus Gogols "Aufzeichnungen eines Wahnsinnigen."

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  Wegen Gogol; ist akzeptiert.  Weißt du, was ich für das schwerste Schauspielfach halte? Den Irren.  Ich hab mal eine Fernsehinszenierung von Gogols Wahnsinnigem in einer ein-Mann-Show gesehen.

   Unnachahmlich; nachdem er diesen letzten Satz gesagt hat,  bricht er in ein Tremolo aus, ein sich bis in den Orgasmus steigerndes hysterisches Gelächter.

   Eigentlich hätte ich diese Studentin "  Rosa-Linda "  nennen sollen - fällt mir erst  jetzt ein. Mein Standard Witzname  für weibliche Wesen.  Kennst du das kalifornische Psychiater-Ehepaar Antonio und Margarete  Damasio; ===> Amygdala?

   Weil ich hatte schon Lehrer; die hatten es am Mandelkern. Das sind Menschen, die wundern sich, warum ihnen die Hände schwitzen und  auf einmal das Herz rast.

   Weil sie die  ANGST  nicht spüren.

    Also meine Amygdala war schon immer super top fit.  Deshalb merkte ich ja, dass da was nicht stimmt, als die mich auf einmal voll unmotiviert so schräg von Links anbaggerte, ob die Argumente der e-Funktion rational oder irrational seien.

   Wenn ich hier mal ehrlich sein darf.  Ich kannte da " Martin " , einen Kollegen.  Den hatte der israelische Mossad   in unsere Abteilung eingeschleust, um mich zu interviewen.  Jeden Abend beim Essen, wenn er grade den Mund voll hatte ( Mit vollem Munde spricht man nicht )   belästigte der mich durch seine Anrufe. Okay; ich nahm es eher als intellektuellen Sport ...

   Ja und eines Tages wollte der wissen, woher meine ausgezeichneten Erinnerungen kommen.  Vielleicht doch von meiner Amygdala; noch lange danach erinnere ich mich eben an Dinge, die es  " normal  "  nicht geben dürfte.

   Es mag ja sein, das dein Prof  die Funktion  f ( x )  = x  ^ 1 / n  im auge hat.  Es ist nur das Selbe in Grün, weil nun mal |Q  ein Teilkörper von |R  ist; und die allgemeine Definition lautet eben doch  ( 4 )   Zumal diese Elemente,   Wurzeln aus RATIONALEN Zahlen, im Regelfall ja gar nicht mehr rational sind.

   Ach übrigens; trage ich jetzt Eulen nach Athen, wenn ich Stanislav Lem und seinen Elektrodrachen voraus setze?  Schallend habe ich gelacht ...  Übrigens; wie heißt das Wortspiel von " Elektrokrach und Elektrodrach "  im polnischen Original?

   Der  "  aritmetische Prinzipal "    handelt ja mit jenem Elektrodrachen auf dem Monde den Kompromiss aus,  wenn er in drei algebraischen Aufgaben unterliegt, werde er darauf verzichten, die Galaxis zu verspeisen.

   Der Elektrodrache möge sich durch sich selbst teilen. Und weil ein Elektrodrache in einem Elektrodrachen genau einmal enthalten ist, geschieht - gar nichts ...

   Der Elektrodrache möge aus sich selbst die Wurzel ziehen.  Und er zog und zog und zog - und zog sich die Wurzel ....

   auch hier stellt sich wieder die Frage nach dem Original.  " To take a square root " hat ja auch nix Komisches. Aber seien wir ehrlich; Generationen deutscher Schüler haben darüber gegrinst, dass sie bei einer Brechnung etwas  2  ziehen  "  sollten ...

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\(\log x:=\int_1^x\frac{dt}{t}\) ist unnatuerlich. Das entspricht nicht der Evolution der Ideen. Und \(a^x:=\exp(x\log a)\) ist deshalb erst recht einfach nur krank.

Euler hat das natuerlich automatisch richtig dargestellt.

Und Santo Vincentio (den musste ich jetzt natuerlich nachgucken) ist nicht 1647 einfach so eingefallen: Huch! Die Flaeche unter der Hyperbel ist ja der Logarithmus!

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    Hast du schon mal Herrmann Hesse gelesen;  das Glasperlenspiel?  Hoooch spannend sag ich dir ...  Natürlich taucht im Verlaufe des Romans so ziemlichj am Anfang die Frage auf:  Was ist das eigentlich; das Glasperlenspiel?

    Sinn gemäß antwortet Herrmann Hesse, die Endausscheidungen in  Kastalien würden " landesweit übertragen "  ( Dachte er schon an Fernsehen? )  Immerhin so viel wird klar, dass es sich um eine Art Thaiboxen auf geistiger Ebene handelt.  Ein Kampf, ein Brillieren auf geistigem Gebiet -  allerdings ohne Regeln  - eben wie Thaiboxen.  Man fühlt sich versucht zu fragen

   " Wie geht ' Denken ' ?  Kann mir einer erklären, wie man ' kreativ ' ist?  Gibt es einen Algoritmus, um neue Ideen zu generieren? "

    Offenbar nein.   Denn etwas, was du voraus sehen kannst, ist ja keine Innovation.

   Ja und dann kommt die einzige große Ausnahme.

        JEGLICHE BESCHÄFTIGUNG MIT DEM FACH GESCHICHTE IST AUS KASTALIEN VERBANNT  .  Da wachen schon die Großmeister drüber ...

    Ich liiiiiebe sie ja, diese Zen ===>   Koans.  Einige sind sogar von mir.

   Die  FAZ   fragte, wie groß ist die Zahl aller Menschen, die je lebten, und der Redakteur gab selbst eine Schätzung ab: 77 Mrd .

   Weißt du was ich denke?   In einer Demokratie geht es nach dem Willen der Mehrheit;  was wir, die Lebenden, erstreben, ist völlig bedeutungslos.  Wir müssen immer erst diese 77 Mrd. fragen ...

     außeerdem hat Konfuzius gesagt,   man müsse die Ahnen ehren -   und? Ist  DAS  ein Koan?

   Habe ich dich richtig verstanden?  Willst du ernsthaft Kinder bei der Einschulung zwingen,  einen Überlebenskurs zu belegen, wie man in der Altsteinzeit überleben musste?

    Jenes Raunen - es durchzieht die Bibel genau so  wie die Artusromantik.  Dass nämlich das Alte in allen Punkten besser sei als das neue.  Nichts gegen ===> Rene Carol; echt toll kann der singen.

   " Kein Weg kann weiter sein / Kein Weg kann schwerer sein

   Als es die Heimkehr ist / In die Vergangenheit. "

    Immerhin ein Schlager OHNE  Herzschmerz ...

       Dazu gibt es ja eine berühmte Parodie. Ich meine Don Quichotte - obgleich diese Geschichte noch mehr Dinge berührt, die hier eindeutig zu weit führen würden.

    Kennst du übrigens die schlagendste Widerlegung dieses Historizismus? Ich meine das Kopernikanische Weltsystem.

   Dieses System ist so Erfolg reich, der Art unwidersprochen,  dass Esoteriker aller Couleur  - und nicht erst seit Erich  v. Däniken -  etwa behaupten,  in den Pyramiden seien mystische Mitteilungen verbaut, wonach schon die ägyptischen Priester Heliozentriker gewesen seien -  und jene Ideologie ist gerettet, wonach die Alten mehr Weisheit besessen hätten als wir.

   Du wirst es ja kennen; es ist nachgerade berühmt.  Schiller musste in die Karlsschule; Seine Durchlaucht lassen antrteten zum Appell.

   "  Wird das Genie geboren oder erzogen? "

   " Erzogen "  war die erwartete Antwort.  Heute in der " Reife " meines Alters  ( Das Wort will einfach nicht zu mir passen )  weiß ich längst: Karl Eugen hatten Recht.

    Ich habe nämlich die Schriften des britischen Altphilologen  ===>  George Thompson  gelesen.  Und nur durch Beachtung der Tesen dieses Thompson wurde aus mir ein nicht gänzlich ungenialer Hobby-Etnologe ...

    Wie hielten es denn die von uns so bewunderten Griechen  mit der " Historie " ?

    Nun; ich habe sie gelesen, die Historien des Herodot ( okay; in deutscher Übersetzung. )

   Nein Thompson hatte sich ( meines Wissens ) nirgends geäußert, welches Verhältnis die Griechen zur Geschichte hatten.  Noch bevor ich eine Zeile gelesen hatte,  fand ich mich inspiriert von Thompson

   " Die Griechen waren ein durch und durch ununhistorisches Volk.  Weiß der Teufel, was  ' Historie '   bedeutet  -  Geschichte im modernen Sinne auf gar keinen Fall. "

   Eins zu Null für Thompson;  ich erfahre: Herodots Buchtitel bedeutet  NACHFORSCHUNG .

   Und Thompson inspirierte mich zu einer weiteren Entdeckung, die vor mir meines Wissens keinem aufgefallen ist.

     Der Römer ist doch ganz typisch konservativ; das berühmte

   "  Wir wollen sein, wie die Väter waren. "

   ( Die Römer HATTEN Historiker, die ihre Aufgabe darin sahen, rom zu verherrlichen. )

   " Oh Zeiten; oh der Sitten Verderbnis.  Die Verhältnisse sind nur deshalb so schlecht,  weil wir nicht mehr leben, wie die Väter lebten; ihre Gebote missachten. "

    KEIN  Grieche hat so etwas je von sich gegeben.

   Warum? Weil es unvernünftig ist.

   Was der Vater sagt, taugt im Allgemeinen nicht zur Richtschnur für eine allgemeine Philosophie.

   Als ich noch ein Kind war, hatten wir einen Nachbarn:  Fritz Rossner. Der nieste   ständig  "  Peia "  statt Hatschi, was dann begreiflicher Weise sein Spitzname wurde.

   Man muss nun wissen, dass es zwischen Peia und meinem Dad zu einer richtig gehenden Gartenzwergneurose gekommen war - mit Schriftsätzen, Polizeiterminen und Schiedsmann ...

   Und eines Tages tat der Peia etwas Sonderbares.  In einem Laden für Witzartikel hatte er ein Schild erstanden; in beleidigender Absicht hängte er es für uns gut einsehbar an seiner Veranda auf:

   " HERR VERGIB IHNEN; DENN SIE WISSEN NICHT, WAS SIE TUN. "

    Als Kind verstand ich das noch nicht so recht; mein Ateismus war eh manifest. Klar wusste ich, dass es sich um ein Bibelzitat handelt - aber was kümmete mich die Bibel? Daddy fragte mich ausdrücklich nach meiner Meinung, was man da tun solle. Meine lapidare Antwort: nix ...

     Heute habe ich eine  Kehrtwendung um 180 ° vollzogen.  Wer kennt sie nicht, jene Irrenhauswitze,  wo sich ( möglichst noch der Direktor der Anstalt ) für Gott hält?

   Nein; das Schild besagt ja nicht, dass uns Peia für Idioten hielt.  Es besagr, dass er, der nicht mal richtig niesen kann,  SICH SELBST FÜPR DEN ERLÖSER HÄLT .

   Was will ich mit dieser Story beweisen?  Peia hatte zwar keine Kinder;  aber gesetzt den Fall, er hätte welche.  Jetzt stellen wir jene römische Maxime auf, seine Kinder sollten sich diesen Vater zum Vorbild nehmen,  der nicht einmal die nötigsten etischen Grundwerte respektiert.

    Jener oft beschworene Antagonismus zwischen Jerusalem und Athen - er reicht tiefer, als die Meisten vermeinen.

   Das jüdische Denken beruft sich auf die ( angebliche ) Historizität von Abraham, Moses und David - und steht und fällt mit ihr.

   Dagegen Athen und in seinem Gefolge der Hellenismus denkt wie gesagt völlig unhistorisch.  Griechisches Denken brachte das erste moderne Mathematikbuch hervor - die Elemente des Euklid.  Bis Heute dienen sie uns als Vorbild; was ein Euler im Lauf seines Lewbens tat oder nicht tat,  darf nie Inhalt eines Matematiktextes werden.

     Vielleicht ist historisches Denken aber in anderem Zusammenhang von Bedeutung.    So brachten die Italiener in der Zeit bis zum 18. Jh. ja glänzende Wissenschaftler hervor;  und ich wollte einfach bissele witzig sein und meinem italienischen Kollegen, dem Ingenieur " Osvaldo " aus Neapel, paar Komplimente machen.

   " Buin giorno Conte Evangelista Torricelli. "

   Jeden Tag sprach ich ihn mit einem anderen großen Namen  an. Bis er dann sehr unwirsch reagierte (  Er hatte einen starken ausländischen Akzent, vermischt mit der Frankfurter Dialektaussprache, die er angenommen hatte. )

   " Hier wenn's de mir noch einmal ansprichst ene mit der erfundene Name ene,  knall isch dir eine in die Fres se. "

   "  So gar kein Respekt vor eurer großen Vergangenheit?  Wie wäre es z.B.  wenn du all die Namen zu Hause mal im Lexikon nachschlägst? "

   "  Isch duu doch nette nachsehen ene der Nam in die Lexikonne, wo du hast ebenene erfunne, um mir zu veraaschene ... "

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Die Frage ist: Wie kann man die Potenz \(a^x\) ausgehend von \(x\in\mathbb{N}\) verallgemeinern? -- Wobei natuerlich die Potenzregeln wie gewohnt weiter gelten sollen (denn sonst kann man ja machen, was man will).

Man findet, dass für rationales \(x=m/n\) zwingend \(a^{m/n}:=\sqrt[n]{a^m}\) gesetzt werden muss.

Fuer irrationales \(x\) setzt man stetig fort. Man nimmt dazu eine rationale Folge \((r_n)\) mit \(r_n\to x\) und setzt \(a^x:=\lim_{n\to\infty}a^{r_n}\).

Ab hier kann man fragen, was das jetzt noch weiter ergibt. Man findet z.B., dass der Logarithmus die Flaeche unter der Hyperbel ist. Aber bestimmt nicht umgekehrt. Der Telekolleg von 1975 ist ein didaktischer Rohrkrepierer.

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 Sicher - es gibt immer mehrere Möglichkeiten, die Teorie aufzubauen.   Ich höre sie wieder, Rosa_Lindas Frage, was man gewinnt, wenn man bei der e-Funktion zwischen rationalen und irrationalen Argumenten unterscheidet.

   Was mich an dem Telekolleg so begeistert.  Du selbst musst ja irgendwann das Konzept der Stetigkeit einführen.

    Und das Telekolleg setzt auf anerkannte Analysis;  den Hauptsatz der D&I und wendet diesen auf die Normalhyperbel an.  Habe ich das schon gesagt:  Als Erstes zeigte Neunzert das logaritmische Rechengesetz

       ln  (  x  y  )  =  ln  (  x  )  +  ln  (  y  )       ( 1 )  

      Und das einzige, was bei seiner Definition des Potenzbegriffs x ^ y   noch zu rechtfertigenbleibt:  Dass für y = n € |N  dieser Begriff konsistent ist mit der üblichen Potenz.

   Vom Standpunkt der reellen Analysis ist wirklich weiter nix mehr zu zeigen.

    Kennst du übrigens von Max Kruse aus der  Löwentrilogie in der Augsburger Puppenkiste die " Papageienfresserinsel " ?

   " Wir müssen ihn schnell schlachten; wahnsinnige Papageien schmecken immer etwas verdorben ... "

     Spektrumleser wissen mehr.

   Weil aus der Spektrum weiß ich, dass wenn du auf |Q  den Logaritmus so definierst, wie man das normal tut.  Ferner wird fest gehalten an Forderung  ( 1 )   So bald du nämlich deine obige Stetigkeitsforderung fallen lässt, gibt es unendlich viele mögliche Fortsetzungen von Logaritmus in die reellen Zahlen unter Wahrung des Gesetzes ( 1 )  ....

   Die Matematiker erkennen ja ausdrücklich die Redeweise von der " patologischen Funktion "  an ...

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Ich verliere mich zu arg im Text ^^   (Fragesteller beim letzen Antwortversuch von Haba...)

Wer nicht! :-)