+1 Daumen
740 Aufrufe


Hallo Leute,

$$ s_n(p)=\sum_{k=1}^n k^p $$

Zu jedem q ≥ 1 existieren rationale Zahlen ak,q,  1 ≤ k ≤ q − 1, so dass

$$ s_n(q)= \frac 1 {q+1} n^{q+1}+ \frac 1 2 n^q + \sum_{k=1}^{q-1} a_{k,q}n^{q-k} $$

Mir ist leider unklar wie ich den Beweis angehen soll. Induktion? Umstellen? Zuvor wurde noch die Pascalsche Identität gezeigt,

$$ \sum_{p=0}^q \binom{q+1}p s_n(p)=(n+1)^{q+1} - 1 $$

aber die kann ich hier ja nicht wirklich benutzen, weil $$s_n(p)$$ sich ja auf p und nicht auf q bezieht, oder?

Habt ihr vielleicht einen Ansatz für die Aufgabe?

von

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: Zu jedem q ≥ 1 existieren rationale Zahlen

Stichworte: analysis,rationale-zahlen

Zeigen Sie: Zu jedem q ≥ 1 existieren rationale Zahlen ak,q,  1 ≤ k ≤ q − 1, so dass

sn(q) = (1/(q+1))nq+1 + (1/2)nq + k=1q-1 ak,qnq-k .

             

Es muss sicher heißen:

Zu jedem q > 1 existieren rationale Zahlen ak,q,  1 ≤ k ≤ q − 1, so dass ...

Denn für q = 1 existieren sicher keine Zahlen für die gilt: 1 ≤ k ≤ q - 1 = 0

 

Im übrigen muss in der Aufgabestellung wohl auch noch etwas Einschränkendes über sn( q ) stehen, denn für beliebiges sn( q ) ist der "Beweis" recht einfach:

Indem ich sn( q ) so setze wie angegeben, gilt die Behauptung.

Was also ist sn ( q ) ?

q ≥ 1 steht tatsächlich so. Aber vorher gab es eine Aufgabe, mit der ich so auch nicht zurechtkomme ehrlich gesagt.:

Es sei im Folgenden sn(p) = k =n1Σ kp

Zeigen Sie durch Induktion über n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die
Pascal'sche Identität:

p =q0∑ (q +p1)sn(p) = (n+1)q+1 - 1.

Folgern Sie, dass sn(4) = (1/30)n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n - 1).

 

Danach folgt die oben genannte Aufgabe.

Nun, das ist ja die gesuchte Einschränkung von sn ( q ) .

Somit ist sn ( q ) also die Summe der ersten n q-ten Potenzen, also:

sn ( q ) = 1 q + 2 q + 3 q + ... + n q

 

Überprüfe aber bitte nochmals folgenden Satz:

Zu jedem q ≥ 1 existieren rationale Zahlen ak,q,  1 ≤ k ≤ q − 1, so dass ...

Irgendetwas daran muss "faul" sein, denn für q = 1 ergibt sich daraus:

1 ≤ k ≤ 0

und das ist nun einmal eine falsche Aussage.

 

Interessant zu wissen wäre vielleicht noch, was ak,q bedeuten soll, inwiefern also durch ak,q rationale Zahlen bezeichnet werden. Wird dazu in der Aufgabenstellung noch etwas gesagt?

Nun, das wäre das ganze Blatt ;)

Ich komme auch mit dieser Aufgabe nicht zurecht :/
kann da niemand helfen? :/ komme damit leider auch nicht zurecht, weiß nicht ein mal wie ich anfangen soll

Sind q und k reelle oder natürliche Zahlen und nur aq,k rational?

Vgl. vielleicht auch die Diskussion hier: https://www.mathelounge.de/115582/zeigen-sie-zu-jedem-q-≥-1-existieren-rationale-zahlen

Ehrlich gesagt steht dazu nichts in der Aufgabenstellung. Da steht nur das, was ich oben geschrieben habe.

Ich sehe gerade, dass im angegebenen Link was ganz anderes für sn(q) definiert wird. (Keine Binomialkoeffizienten)

Zudem ist das dort ein Riesenaufgabenblatt. Kennst du das alles nicht?

Nein, ich habe die Aufgabe woanders her. Kannst du mir denn trotzdem helfen?

Keine Ahnung. sn (q) = (n tief q) oder umgekehrt?

Oder eventuell s( q ) = 1 q + 2 q + 3 q + ... + n also die Definition im Link? 

Bin mir leider unsicher. Wie würde die Aufgabe denn gehen, wenn man von der Definition in dem Link ausgeht?

Beinhaltet zu wenig Infos, man weiss nicht was sn ist, obwohl das meiner Meinung nach sehr wichtig ist.

Vom Duplikat:

Titel: Zu jedem q>1 existieren rationale Zahlen a_k,g, 1

Stichworte: existenz,analysis,rationale-zahlen

Zeigen Sie: Zu jedem q>1 existieren rationale Zahlen a k,q,  1≤ k ≤ q-1, so dass

Sn(q)=$$ \frac { 1 }{ q+1 } { n }^{ q+1 }+\frac { 1 }{ 2 } { n }^{ q+1 }+\sum _{ k=1 }^{ q-1 }{ { a }_{ k,q }{ n }^{ q-k } }$$

Hi, mir scheint die Fragestellung nicht komplett zu sein. Natürlich kann man \( S_n(q) \) so definieren wie Du hingeschriebenn hast, und zwar für jede Folge \(a_{k,q} \) Also irgendeine zusätzliche Bedingung scheint zu fehlen.

Kannst du die Zeile:

Zeigen Sie ... 

in Klartex schreiben? Deine Eingabe wird nicht korrekt umgewandelt. 

Ist das die vollständige Version von https://www.mathelounge.de/233811/zu-jedem-q-1-existieren-rationale-zahlen-ak-g-1-k-q-1 ?

Kannst du die Zeile:

Zeigen Sie ... 

in Klartex schreiben? Deine Eingabe wird nicht korrekt umgewandelt. 

Ja das ist in beiden Threads die gleiche Aufgabe wie meine. Aber ich hab die von meinem aktuellen Übungsblatt. Die Kommentare in den beiden Threads helfen mir leider nicht weiter. Hast du eine Idee?

Ich hatte bei der Pascalschen Identität den letzten Summanden rausgezogen und hab dann zumindest sn(q) rausbekommen. Aber viel weiter bin ich noch nicht gekommen.

Für inline tex muss man hier  \ ( ... \ ) (ohne Leerzeichen) verwenden, nicht $ ... $.

Stimmt die Überschrift und die falsche Zeile nun?

Warum hast du als Tag überhaupt Induktion angegeben?

@EmNero Danke dir, wusste ich nicht

@Lu das k,q sind Indices von a, ansonsten stimmt das aber genau so. Induktion habe ich angegeben weil ich ursprünglich dachte dass der Beweis auch mittels Induktion über q geführt werden kann.

Vielleicht wagt sich jemand an eine Antwort, da die Frage nun vollständig und aktuell zu sein scheint.

Vom Duplikat:

Titel: Es existiert zu q eine rationale Zahl a_(k,q), 1 ≤ k ≤ q − 1, so dass

Stichworte: analysis,rationale-zahlen

Aufgabe:

Zeigen Sie: Zu jedem q ≥ 1 existieren rationale Zahlen   ak,q, 1 ≤ k ≤ q − 1, so dass

sn(q) =      \( \frac{1}{q+1} n^q+^1\)  + \( \frac{1}{2}n ^q \)  + \( \sum\limits_{k=1}^{q-1}{a_k,_q,n^q-^k} \)


Problem/Ansatz:

Hallo Liebe Mathe Community,

Könnte mir eventuell jemand bei dieser Aufgabe helfen.

Wäre sehr dankbar


VG

Hallo. Das ist ein unvollständiges Duplikat. Bitte suche bei den vorhandenen Fragen. Erste Version wohl (2013) Dann letzte Woche mehrfach.

Vgl. https://www.mathelounge.de/625302/zu-jedem-existieren-rationale-zahlen-so-dass-eine-summe-gilt

Ich bräuchte bei dieser Aufgabe auch hilfe..

Vom Duplikat:

Titel: Aufgabe 6

Stichworte: funktion

Zeigen Sie: Zu jedem q ≥ 1 existieren rationale Zahlen ak,q, 1 ≤ k ≤ q − 1, so dass

blob.png

Bitte logge dich ein oder registriere dich, um die Frage zu beantworten.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...