Potenzen -> hoch 0 -> hoch eine Minuszahl

Question

Kann mir jemand erklären, was Potenzen wie zum Beispiel

6^0

oder

6^{-3}

bedeuten sollen.

Ich checke das nicht, da man ja die 6 nicht mit 0 multiplizieren oder -3-Mal mit sich selbst.

Warum muss a^0 und a^{-n} definiert werden?

Answer 1

Das ist wie folgt definiert:$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ Als kleines Beispiel nehm ich einfach mal deine Frage:$$6^{-3}=\frac{1}{6^3}$$ Das ist dasselbe wie:$$6^{-3}=\frac{1}{6\cdot 6 \cdot 6}$$

Wieso ist a^0=1?

Guck dir zum Beispiel mal 5/5 an. Das ist ja wie jeder weiß 1. Also können wir:$$\frac{5^1}{5^1}=5^{1-1}=5^0=1$$ Dort wurde folgendes Potenzgesetz angwandt:$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Answer 2

6^0

oder

6^{-3}

Motivation: Division von Potenzen mit gleicher Basis. 

6^9 / 6^5 = 6^{9-5} = 6^4 , denn 6^4 * 6^5 = 6^9 .

So weit klar?

Nun einfach weiter drauf los dividieren:

6^9 / 6^9 = 6^{9-9} = 6^0

Ausserdem könnte man auch kürzen: 6^9 / 6^9 = 1/1 = 1.

Daher die erweiterte Schreibweise: 6^0 = 1. 

Anderes Beispiel

6^9 / 6^11 = 6^{9-11} = 6^{-2}

Ausserdem kommt man mit kürzen auf: 6^9 / 6^11 = 1/6^2.

Somit ist auch die Schreibweise 6^{-2} = 1/6^2 motiviert.

Nun muss einfach noch sichergestellt sein, dass mit der neuen Schreibweise keine Widersprüche in die bisherigen Rechenregeln kommen.