Behauptung: ∀ n∈ℕ\{0}: k=1∑nk⋅k!=(n+1)!−1
Induktionsanfang
Sei n0=1. Dann ist k=1∑1k⋅k!=1⋅1!=1=2−1=(1+1)!−1.Damit ist die Aussage fu¨r n=1 wahr.
Induktionsschritt
Angenommen die Aussage sei für ein festes, aber beliebiges n∈ℕ\{0} wahr, so dass gilt :
k=1∑nk⋅k!=(n+1)!−1(IV)
Dann gilt diese Aussage auch für n+1, also:
k=1∑n+1k⋅k!=(n+2)!−1
Dies zeigt man so:
k=1∑n+1k⋅k!=(k=1∑nk⋅k!)+(n+1)⋅(n+1)!=(IV)(n+1)!−1+(n+1)⋅(n+1)!=(n+1)!⋅(1+(n+1))−1=(n+1)!⋅(n+2)−1=(n+2)!−1.
Damit wurde die Aussage für alle n∈ℕ\{0} bewiesen.
q.e.d