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k=1nkk!=(n+1)!1 \sum _{ k=1 }^{ n }{ k\cdot k! } =(n+1)!-1

Zeigen Sie mithilfe der Induktion die Richtigkeit dieser Formel.

Könnt ihr mir bitte bei dieser Induktionsaufgabe helfen? Wäre sehr nett von euch :)

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Behauptung: ∀ n∈ℕ\{0}: k=1nkk!=(n+1)!1 \sum_{k=1}^{n}{k \cdot k!}=(n+1)!-1\quad

Induktionsanfang

Sei n0=1. Dann ist k=11kk!=11!=1=21=(1+1)!1.Damit ist die Aussage fu¨r n=1 wahr. \text{Sei } n_0=1. \text{ Dann ist }\\\sum_{k=1}^{1}{k \cdot k!}= 1\cdot 1!=1= 2-1=(1+1)!-1. \\\text{Damit ist die Aussage für n=1 wahr.}
Induktionsschritt
Angenommen die Aussage sei für ein festes, aber beliebiges n∈ℕ\{0} wahr, so dass gilt :
k=1nkk!=(n+1)!1(IV) \sum_{k=1}^{n}{k \cdot k!}=(n+1)!-1\quad (IV)
Dann gilt diese Aussage auch für n+1, also:
k=1n+1kk!=(n+2)!1 \sum_{k=1}^{n+1}{k \cdot k!}=(n+2)!-1
Dies zeigt man so:
k=1n+1kk!=(k=1nkk!)+(n+1)(n+1)!=(IV)(n+1)!1+(n+1)(n+1)!=(n+1)!(1+(n+1))1=(n+1)!(n+2)1=(n+2)!1. \sum_{k=1}^{n+1}{k \cdot k!}\\= \Bigg(\sum_{k=1}^{n}{k \cdot k!}\Bigg) +(n+1) \cdot (n+1)! \\\stackrel{(IV)}{=} (n+1)!-1+(n+1) \cdot (n+1)! \\=(n+1)! \cdot (1+(n+1))-1\\=(n+1)!\cdot (n+2)-1\\=(n+2)!-1.
Damit wurde die Aussage für alle n∈ℕ\{0} bewiesen.
                                                                                                                       q.e.d

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