Unstetigkeit der Funktion f(x) = 0, x ∈ ℚ; 1, x ∉ ℚ

Question

Wir betrachten die Funktion f : ℝ → ℝ mit:

$$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x \in \mathbb { Q } } \\ { 1 , } & { x \notin \mathbb { Q } } \end{array} \right.$$

Zeigen Sie, dass diese Funktion in jedem Punkt $x_0 ∈ ℝ$ unstetig ist.

Answer 1

Sei a∈R. Wir behaupten dass f stetig in a ist. Also für jedes ϵ>0 existiert ein δ>0 sodass |f(x)−f(a)|<ϵ wenn |x−a|<δ.

Wir wählen ϵ=1. Jedes Intervall (a−δ,a+δ) enthält ein rationale und eine irrationale Zahl. Also kann immer ein b in jeden solchen Intervall finden sodass eins von a,b rationale ist und das andere irrational.

Wir haben dass |f(b)−f(a)|=1, das gleich ϵ ist und nicht kleiner. So haben wir einen Widerspruch.

Somit wird die Bedingung (⋆) für kein δ erfüllt werden. Also die Funktion f ist in a unstetig, für alle a∈R.