Trifft sich ja großartig, dass ich auf eine markierte Frage antworte. Scheint sich ja um metrische Räume zu handeln Mit B_r ( x ) ist offenbar die r-Kugel um x gemeint.
Zunächst eine kleine Vorrede: macht Internet dumm? Wo hast du Topologie gelernt; im " Franzbändchen " ( Franz / Frankfurt ) ?
Weil überall steht doch, die Metrik d ( x ; y ) sei eine nicht negative Funbnktion. So als müsste jemand das " aktiv verhindern " Anschaulich leuchtet das sogar ein. Im Internet nun erfahre ich
0 = d ( x ; x ) < = d ( x ; y ) + d ( y ; x ) ( Dreiecksungleichung ) ( 1a )
= 2 d ( x ; y ) ( Symmetrie ) ( 1b )
Ich bin ein Fan von ===> Edward Nelson und seiner Nonstandard Analysis ( NSA ; IST ) Lehrbuch von Alain Robert bei Wiley; neueste Ausgabe natürlich bei Amazon. Robert beschäftigt sich übrigens genau mit diesen Fragestellungen.
Doch zwei Konventionen vorab. Für die Variable " klein a " möge nur dann " groß A " verwendet werden, wenn der Wertebereich von a auf Standardwerte eingeschränkt ist; die Nelsonteorie ist " case sensitive " Und griechische Buchstaben bleiben reserviert für inf(initesimale) Größen.
Dann brauchen wir noch eine Relation
x ( = ) y : D ( x ; y ) = inf = € ( 2a )
In Worten: x ist fast gleich y .
In der NSA hast du doch ganz typisch diese ===> impliziten Definitionen ( ID ) Ein x möge fast Standard heißen, falls
(E) Y | Y ( = ) x ( 2b )
Dann bezeichnen wir Y =: x * und nennen es den Schatten von x . In metrischen Räumen lässt sich zeigen, dass diese Definition eindeutig ist.
Die ID von Abgeschlossen.
Eine Menge A heißt abgeschlossen <===>
x fast Standard , x € A ====> x * € A ( 3 )
und die ID des Häufungspunkts
H ist Häufungspunkt von A <===>
(E) x € A ; x * = H ( 4a )
D ( x ; H ) > 0 ( 4b )
Ungleichung ( 4b ) repräsentiert die Idee des " Auspieksens " , wie ich das immer nenne - für die Eigenschaft " Häufungspunkt " ist unwesentlich, ob H € A oder nicht.
Und jetzt der Beweis
" <==== "
( H Häufungspunkt von A ===> H € A ) ===> A abgeschlossen
Wegen X ( = ) X folgt ja immer X * = X . Kriterium ( 3 ) macht also überhaupt nur dann eine Aussage, wenn x Nonstandard. Dann aber folgt aus ( 4ab ) dass x * Häufungspunkt von A , d.h. aber laut Annahme x * € A ===> A ist abgeschlossen.
" ===> "
Sei nunmehr H Häufungspunkt von A . Dann gibt es x € A mit H = x * . Da nun aber A abgeschlossen, muss H € A .
Unterpunkt ii) gestaltet sich doch etwas knifflig. Ich will einmal eingehen auf Nelsons Standardisierungsaxiom. Seine Notation finde ich allerdings wenig erhellend; meine Groß-Kleinschreibung ist da viel suggestiver. Aus der Spektrum weiß ich übrigens, dass man die Menge der Häufungspunkte als ihre Ableitung M ' bezeichnet - findest du auch in keinem Unitext. Und dass M ' Teilmenge von M genau dann wenn M abgeschlossen, stand auch schon in der Spektrum.
Spektrumleser wissen mehr. Und gäbe es die Spektrum nicht, hätte ich nie etwas von Onkel Nelson erfahren.
M ' = { H | (E) x € M ; x * = H ; D ( x , H ) > 0 } ( 5 )
Mit " groß M " drücke ich aus: Bei M ' handelt es sich um eine Standardmenge. Und das Symbol " groß H " macht unmissverständlich deutlich: EXPLIZIT trifft die Mengen bildende Eigenschaft nur auf Standardelemente zu; diese Definition ist implizit in dem Sinne, dass zwei Standardmengen schon dann in allen Elementen überein stimmen, wenn ihre Standardelemente gleich sind. Dann folgt aber aus ( 5 )
(V) H € M ' | D ( H , M \ H ) = inf ( 6a )
Mit Transfer bekommen wir die zusätzliche Aussage
D ( H , M \ H ) = Standard ( 6b )
und ( 6ab ) zusammen führt auf
D ( H , M \ H ) = 0 ( 6c )
In der Form ( 6c ) , wo rechts Null steht und nicht inf , ist Transfer nach h zulässig :
(V) h € M ' | D ( h , M \ h ) = 0 ( 6d )
Wo wollen wir hin? Sei h fast Standard ein Häufungspunkt von M ; dann muss auch H := h * einer sein. Wieder ist nichts zu zeigen, wenn schon h * = h = Standard . Sei also im Folgenden h zwar fast Standard, aber selbst Nonstandard:
h ( = ) H ( 7a )
Aus ( 6d ) folgt aber, dass es ein x € M geben muss, dessen Abstand zu h noch näher ist als dieses H
( Ob der Fall eintreten kann, dass x = h , ist für den folgenden Beweis unerheblich. )
h ( = ) x ( 7b )
Und jetzt ein Wort in eigener Sache; nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum - ich kann es auch. Es heißt nämlich nicht " Äquivalenzrelation " , sondern Gleichheitsbeziehung ( GB ) . Und " ( = ) " ist so eine (Pseudo)_GB . Nicht nur ist sie reflexiv und symmetrisch, sondern eben auch transitiv. D.h. aus ( 7ab ) folgt
(E) x € M | x ( = ) H ===> H ist Häufungspunkt von M ( 7c )
