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Welche der folgenden Teilmengen des R2 sind offen, abgeschlossen und beschränkt. Gib alle innere Punkte, Randpunkte, Berührungspunkte, Häufungspunkte und isolierte Punkte der Mengen an.

$$ \left. \begin{array} { l } { A = \left\{ \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) : 0 < x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } < 1 \right\} } \\ { B = \left\{ \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) : 3 x _ { 1 } - 5 x _ { 2 } = 7 \right\} } \\ { C = \mathbb { R } \times \mathbb { Q } } \end{array} \right. $$

von

a) ist beschränkt und sicher nicht abgeschlossen.

Benutze die Definitionen der Begriffe, um den Rest zu beurteilen.

Okay wenn  ich wüsste wie ich die Definitionen anwende, hätte ich die Frage nicht gestellt. ?

2 Antworten

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0<x^2 +y^2 < 1
offen hieße doch: Zu jedem Punkt, gibt es eine ganze Umgebung, die in A liegt
wenn P (x,y) aus A, dann ist x^2 +y^2=c und c zwischen 0 und 1
wähle dann epsilon = minimum von  c/2 und   (1-c)/2  und U_epsilon von P ist in A
abgeschlossen heisst:
Komplement von A ist offen. Da aber (0/0) im Komplement von A, aber in jeder eps-Umgebung
(jedenfalls für kleine eps, auf die kommt es an)
von (0/0) mit   (0;  eps/2) ein Punkt von A liegt, ist das Komp. nicht offen
beschränkt, da für alle P aus A jedenfalls |P| < 1




von 228 k 🚀
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Sei mir nicht böse; aber wenn du das nicht weißt, hast du dein Studienfach verfehlt.

a) ist der (offene) Einheitskreis ===> offen ( Das Innen===> Gebiet ; der ===> offene Kern )

b) ist eine Gerade ; das heißt aber, dass auf der selben jede ===> Cauchyfolge konvergiert ===> abgeschlossen

Bei c) möchte ich dich daran erinnern, warum wir die reellen Zahlen erfunden haben: >Q ist gerade nicht abgeschlossen; Cauchyfolgen konvergieren auf |Q nicht. Diese Menge ist nicht abgeschlossen.

Offen ist sie auch nicht, da jede Umgebung einer rationalen Zahl auch irrationale Zahlen enthält ( Warum? )


Mir ist zu der b) noch eine Idee gekommen: Nelsonteorie, siehe https://www.mathelounge.de/231507/beweis-offene-und-geschlossene-teilmenge-des-r-2 Ich benutze das hier. Wir haben doch die Zerlegung:

x1 = X1 + €   ( 1a )
x2 = X2 + µ   ( 1b )

Zu zeigen

( x1 | x2 ) € B ===> ( X1 | X2 ) € B   ( 2 )

3 X1 + 3 € - 5 X2 - 5 µ = 7   ( 3 )

Wir hatten aber gesagt, diese Zerlegung ist eindeutig:

3 X1 - 5 X2 = 7    ( 4a ) ; wzbw

3 € - 5 µ = 0  ( 4b )

von

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