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Hallo..

Die Aufgabe steht im Titel. Ich soll bestimmen, ob die gegeben Vektoren ein linear unabhägiges System bilden. Und meine Antwort begründen.

Also zu Beginn ich weiß, was ein linear unabhägiges Sytsem ist.

Jedoch bin ich mir unsicher wie man das bei den Fällen errechnet bzw. herausbekommt.

Ich hoffe ihr könt mir helfen...

1.)   (1,3,0) , ( 0,0,3) , (2, 1, 0) im ℤ5- Vektorraum 35

--> Hier muss ich was mit Modulu rechnen oder? WEnn ja wie genau ?

2.)  1/3 , 4/5, 7/11 im ℚ - Vektorraum ℝ

--> ich hab ich keine idee

3.) t2 + t , t + 1, t2-1 im ℝ - Vektorraum ℝ[t]

--> Hier hab ich auch keine Idee


Ich bedanke mich schon mal für die Hilfe und hoffe dass mir jemand weiterhelfen kann, bzw. ich bei Unklarheiten noch weitere Fragen stelllen kann. Danke :)

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keine Idee

Fuer die Aufgabe braucht man auch keine. Allerdings muss man in der Lage sein, ein lineares Gleichungssystem \(\lambda u+\mu v+\nu w=0\) zu loesen. Kannst Du das schon?

1 Antwort

+3 Daumen

Zu 1.):

Ja, hier ist Modulo-Rechnen angesagt. Aber man kann in \(\mathbb{Z}_{5}\) im Grunde genauso rechnen, wie sonst auch. Nur dass man statt zu dividieren mit dem jeweiligen inversen Element multipliziert.

Beispielsweise wenn man \([2]_5\cdot x = [3]_5\) nach \(x\) auflösen möchte, multipliziert man mit dem inversen Element \([2]_5^{-1} = [3]_5\) und erhält \(x = [3]_5\cdot[3]_5=[3\cdot3]_5 = [9]_5 = [4]_5\).

----------

Es gibt hier einen schnellen Weg die Teilaufgabe zu lösen:

[spoiler]

Man kann erkennen, dass der dritte Vektor ein Vielfaches des ersten Vektors ist.

\(\begin{aligned}[2]_5\cdot\left([1]_5, [3]_5, [0]_5\right) &= \left([2]_5\cdot[1]_5, [2]_5\cdot[3]_5, [2]_5\cdot[0]_5\right) \\&= \left([2\cdot1]_5, [2\cdot3]_5, [2\cdot 0]_5\right) \\&= \left([2]_5, [6]_5, [0]_5\right)  \\&= \left([2]_5, [1]_5, [0]_5\right)\end{aligned}\)

Demnach ist \(\left\lbrace\left([1]_5, [3]_5, [0]_5\right), \left([0]_5, [0]_5, [3]_5\right), \left([2]_5, [1]_5, [0]_5\right)\right\rbrace\) nicht linear unabhängig im \(\mathbb{Z_5}\)-Vektorraum \(\mathbb{Z}_5^3\).

[/spoiler]

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Wenn man diesen schnellen Weg nicht sieht, kann man auch folgendermaßen vorgehen ...

Zur Untersuchung, ob \(\left\lbrace\left([1]_5, [3]_5, [0]_5\right), \left([0]_5, [0]_5, [3]_5\right), \left([2]_5, [1]_5, [0]_5\right)\right\rbrace\) linear unabhängig in \(\mathbb{Z}_5^3\) ist, kann man die Gleichung \[\lambda_1\left([1]_5, [3]_5, [0]_5\right)+\lambda_2\left([0]_5, [0]_5, [3]_5\right)+\lambda_3\left([2]_5, [1]_5, [0]_5\right) = \left([0]_5, [0]_5, [0]_5\right)\] für \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\in \mathbb{Z}_5\) betrachten.

Diese liefert das Gleichungssystem \[\begin{aligned}[1]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [2]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [3]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [1]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [3]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \end{aligned}\text{.}\]

Dieses Gleichungssystem kann man nun beispielsweise mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Subtrahiere das [3]_5-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile.

\(\begin{aligned}[1]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [2]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [3]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \end{aligned}\)

Vertausche die letzten beiden Zeilen.

\(\begin{aligned}[1]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [2]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [3]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \end{aligned}\)

Multipliziere die zweite Zeile mit \([2]_5\).

\(\begin{aligned}[1]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [2]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [1]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \end{aligned}\)

Nun erhält man die Lösungen

\(\begin{aligned}\lambda_1 &= [3]_5\cdot\lambda_3 \\ \lambda_2 &= [0]_5 \\ \lambda_3 &= \lambda_3 \end{aligned}\text{.}\)

für beliebigies \(\lambda_3\in\mathbb{Z}_5\). Damit erhält man beispielsweise für \(\lambda_3=[1]_5\) die nicht triviale Lösung

\(\begin{aligned}\lambda_1 &= [3]_5 \\ \lambda_2 &= [0]_5 \\ \lambda_3 &= [1]_5 \text{.}\end{aligned}\)

Dies zeigt, dass \(\left\lbrace\left([1]_5, [3]_5, [0]_5\right), \left([0]_5, [0]_5, [3]_5\right), \left([2]_5, [1]_5, [0]_5\right)\right\rbrace\) nicht linear unabhängig im \(\mathbb{Z_5}\)-Vektorraum \(\mathbb{Z}_5^3\) ist.

Zu 2.):

Betrachte die Gleichung \[\lambda_1\cdot\frac{1}{3}+\lambda_{2}\cdot\frac{4}{5}+\lambda_{3}\cdot\frac{7}{11}=0\] mit \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in\mathbb{Q}\).

Durch geschicktes Hinschauen findet man beispielsweise die nicht-triviale Lösung

\(\lambda_1 = 2\cdot \frac{3}{1}=6, \quad \lambda_2 = -1\cdot\frac{5}{4} = -\frac{5}{4}, \quad \lambda_3 = -1\cdot\frac{11}{7} = -\frac{11}{7}\).

Dies zeigt, dass \(\left\lbrace\frac{1}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{11}\right\rbrace\) nicht linear unabhängig im \(\mathbb{Q}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}\) ist.

Zu 3.):

Offensichtlich ist der dritte Vektor die Differenz der beiden anderen Vektoren:

\((t^2+t) - (t + 1) = t^2 - 1\)

Daher ist \(\left\lbrace t^2 + t, t + 1, t^2 - 1\right\rbrace\) nicht linear unabhängig im \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}[t]\).

----------

Anonsten könnte man auch die Gleichung \[\lambda_1\cdot(t^2 + t) + \lambda_2\cdot (t + 1) + \lambda_3\cdot(t^2 - 1) = 0\] mit \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\in\mathbb{R}\) betrachten. Diese Gleichung ist äquivalent zu \[(\lambda_1+\lambda_3) \cdot t^2 + (\lambda_1+\lambda_2)\cdot t + (\lambda_2-\lambda_3)\cdot 1 = 0\text{.}\]

Da \(\left\lbrace t^2, t, 1\right\rbrace\) linear unabhängig im \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}[t]\) ist, ist die vorangegangene Gleichung äquivalent zum Gleichungssystem \[\lambda_1+\lambda_3 = 0, \quad\lambda_1+\lambda_2 = 0, \quad\lambda_2 - \lambda_3 = 0\text{.}\]

[spoiler]

Begründung, dass \(\left\lbrace t^2, t, 1\right\rbrace\) linear unabhängig im \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}[t]\) ist.

Betrachte die Gleichung \[\mu_1\cdot t^2 + \mu_2 \cdot t + \mu_3\cdot 1 = 0\] mit \(\mu_1, \mu_2, \mu_3\in\mathbb{R}\).

Durch Einsetzen von \(0\) bzw. \(1\) bzw. \(-1\) für \(t\) erhält man, dass insbesondere die Gleichungen \[\mu_3 = 0,\quad \mu_1 + \mu_2+\mu_3 = 0, \quad\mu_1-\mu_2+\mu_3 = 0\] erfüllt sein müssen. Löst man dieses Gleichungssystem, beispielsweise mit dem Gauß-Algorithmus, erhält man, dass \(\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = 0\) sein muss.

[/spoiler]

Die Lösungen sind dann gegeben durch \[\lambda_1 = -\lambda_3,\quad \lambda_2 = \lambda_3,\quad \lambda_3 = \lambda_3\] für beliebiges \(\lambda_3\in\mathbb{R}\).

Für \(\mathbb{3} = 1\) erhält man beispielsweise die nicht-triviale Lösung \[\lambda_1 = -1,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = 1\text{.}\]

Daher ist \(\left\lbrace t^2 + t, t + 1, t^2 - 1\right\rbrace\) nicht linear unabhängig im \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}[t]\).

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