Linearkombination von Basen, duale Basen

Question

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Im Vektorraum R^3x1 sei neben der kanonischen Basis E noch eine Basis B = (b1, b2, b3) gegeben mit

B = ((1,2,0)^T, (-2,-3,-1)^T, (3,4,3)^T)

a) Bestimme die zu B duale Basis B* & stelle mit deren Hilfe den Vektor x mit <E*,x> = (2,1,-1)^T als Linearkombination von B dar.

Hier habe ich schon mal die duale Basis ausgerechnet:

b1* = (-5, 3, 1), b2* = (-6, 3, 2), b3* = (-2, 1, 1)

Nur weiß ich leider nicht mehr weiter. Wie soll ich nun mit Hilfe von B* bzw. B den Vektor x als Linearkombination von B darstellen?

Soll man da so vorgehen:

x1*b1 + x2*b2 + x3*b3 = (2,1,-1)^T ?

Ich habe es so zwar probiert, scheitere aber dabei, zu einer Lösung zu kommen. Hat jemand vl eine Idee?

Weiters weiß ich auch nicht was E* ist. Ist das die duale kanonische Basis?

b) Stelle die Linearform a* mit <a*,E> = (7,1,5) als Linearkombination von B* dar.

((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

------------------------------------ = <a*,E>

7                1               5

Aber wie Stelle ich a* als Linearkombination von B* dar?

Da habe scheitere ich leider auch. Und im Buch finde ich leider nichts nützliches, was mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen könnte.

Lg

Comments

Oke ich habe mal etwas herum probiert und nun folgendes gemacht: 
Soll man da so vorgehen?
x_1*b_1 + x_2*b_2 + x_3*b_3 = (2,1,-1)^T ?

Da komme ich auf x_1 = -8, x_2 = -11, x_3 = -4
Aber stimmt das so? Denn <E**,x> Ist ja wie folgt definiert:

x_1 * e_1 + x_2 * e_2 + x_3 * e_3 = (2, 1, -1)^T

Dann ist x_1 = 2, x_2 = 1, x_3 = -1.

Aber ich soll x ja mit Hilfe der Basis B und der dualen Basis B** den Vektor x mit <E**,x> = (2, 1, -1)^T als Linearkombination von B darstellen. Irgendwie habe ich da ein Verständnisproblem ..

Soll ich da einfach für x_1 = 2, x_2 = 1, x_3 = -1 und b_1 = (1,2,0)^T, b_2 = (-2,-3,-1)^T, b_3 = (3,4,3)^T

x_1*b_1 + x_2*b_2 + x_3*b_3 ausrechnen?

b) Stelle die Linearform a** mit <a**,E> = (7,1,5) als Linearkombination von B* dar.

((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
----- =  <a**,E>
7 1 5

<a**,E> ist wie folgt definiert:
<a**,E> = (<a**,e_1>, <a**, e_2>, <a*, e_3>) =: (a_1, a_2, a_3)
dh
a_1 = 7, a_2 = 1, a_3 = 5

Wie bei a) dass ich eben a_1 = 7, a_2 = 1, a_3 = 5 und b_1** = (-5, 3, 1), b_2** = (-6, 3, 2), b_3** = (-2, 1, 1) mit

a_1 * b_1** + a_2 * b_2** + a_3 + b_3** ausrechne?

Ich habe so das Gefühl, dass das nicht so stimmt.

Lg