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kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Die Aufgabe lautet:

Seien K ein Körper und V=[X]≤1  der Raum der Polynome von Grad ≤1. Dann ist b:=(1+X,1+2X) eine Basis von V.

Bestimmen Sie dazu die zu b gehörige duale Basis von b*, indem Sie diese als Linearkombination bzgl. der dualen Basis (1*,X*) der Standardbasis (1,X) darstellen.


Ich habe folgenden Ansatz verstanden. Man stellt die 1  und das X mithilfe der Daten von b auf:

1=2(1+X)+(-1)(1+2X) und X =(-1)(1+X)+1(1+2X)

aber die Rechenschritte danach verstehe ich nicht:

⇒ (a0+a, X)= (2a0-a)(1+X)+(-a0+a)(1+2X)

Wie komme ich auf den obigen Schritt?

Danach: Für b=(1+X, 1+2X), wobei b1=1+X und b2=1+2X gilt also

b1*(a0+a,X)=2a0-a1=(2×1*+(-1)X*(a0+a,X)

b2*(a0+a,X)=-a0+a=((-1)×1*+X*)(a0+a,X)

Man erhält somit: b1*=2×1*+(-1)X*  und b2*=(-1)×1*+X*


Kann mir jemand die Rechenschritte erklären, wenn es für/sie in Ordnung ist, denn ich kann mir vorstellen, dass das ein langer Rechenweg ist. Dass man die 1 und das X mithilfe von b aufstellt, das habe ich verstanden aber leidder den Rest nicht

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1 Antwort

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Hallo :-)

Ich finde den aufgeführten Rechenweg nicht schön und kann dir als Alternative mal meine Herangehensweise zeigen, weil ich sie viel intuitiver finde:

Gegeben: \(V=\mathbb{K}[t]_{\leq 1}\) mit Basis \(\mathcal{B}:=(\underbrace{1+t}_{=:b_1},\underbrace{1+2t}_{=:b_2})\)

Gesucht: Linearformen (lineare Abbildungen) \(b_1^*,b_2^*\in V^*\), sodass die Definition \(b_i^*(b_j)=\delta_{ij}\) für alle \(1\leq i,j\leq 2\) erfüllt ist. Denn damit hat man ja die duale Basis \(\mathcal{B}^*=(b_1^*,b_2^*)\) von \(V^*\) gefunden. Wir suchen also lineare Abbildungen, die eine Basis von \(V^*\) bilden.

Rechnung: Jetzt arbeiten wir nur noch mit der Definition.

Hier sind es nur lineare Polynome. Für einen dualen Basisvektor setzt man hier also ein Polynom der Form \(a_0+a_1\cdot t\) ein und nutzt seine Linearität aus:

\(b_i^*(a_0+a_1\cdot t)=a_0\cdot b_i^*(1)+a_1\cdot b_i^*(t)\). Es interessiert uns nur noch, was \(b_i^*(1)\) und \(b_i^*(t)\) sind.

Man setzt jetzt einfachmal in die gesuchten dualen Basisvektoren ein:

1.) Zu \(b_1^*\):

\(b_1^*(b_1)=b_1^*(1+t)=b_1^*(1\cdot 1+1\cdot t)=1\cdot b_1^*(1)+1\cdot b_1^*(t)=1\)

\(b_1^*(b_2)=b_1^*(1+2\cdot t)=b_1^*(1\cdot 1+2\cdot t)=1\cdot b_1^*(1)+2\cdot b_1^*(t)=0\)

Das kannst du auch gerne in Matrixform überführen:

\(\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_1^*(1)\\b_1^*(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\).

Das ist zu lösen. Heraus kommt: \(b_1^*(1)=2\) und \(b_1^*(t)=-1\).

Also lautet der erste duale Basisvektor

\(b_1^*(a_0+a_1\cdot t)=a_0\cdot b_i^*(1)+a_1\cdot b_i^*(t)=a_0\cdot 2+a_1\cdot (-1)=2\cdot a_0-a_1\)


Probier es jetzt mal mit dem zweiten dualen Basisvektor.

Avatar von 14 k

Ich danke Ihnen, ich würde mich heute Abend noch dransetzen und dann meine Lösung hochladen. Aber eine Frage:

Woher weiß ich, dass aus b1*(1+t)

b1*(1×1+1×t) wird, also wie schreibt man "1×1"

Vergiss den obigen Ansatz, \(1\) mithilfe anderer Basispolynome darzustellen, bzw ich mache es in meinem Weg nicht.

Okay dankeschön!

Ich habe total vergessen mich zu melden. Ich habe die Aufgabe, die ich mache sollte, leider nicht hinbekommen.

Wo lag denn das Problem?

Schon direkt am Anfang um ehrlich zu sein.

Sie haben ja bei dem einen b1*(b1) und

b1*(b2) gebildet. Musste ich dann bei dem zweiten dualen Basisvektor

b2*(b1) und b2*(b2) bilden?

Ja, genauso ist es.

Oh okay -.- dann würde mich nochmal morgen hinsetzen und das hochladen. Gerade seitze ich an anderen Aufgaben. Das tut mir sehr sehr leid. Ich dachte es wäre falsch

Wenn du Fragen zur Aufgaben, dann stell sie bitte.

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